Équation de Mathieu

En physique mathématique, on appelle équation de Mathieu une équation mise en évidence par Émile Mathieu au XIX^e siècle.

C'est un cas particulier de l'équation de Hill : ${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+G(t)x=0}$ où ${\displaystyle G(t)}$ est une fonction périodique, avec :

${\displaystyle G(t)=a-2q\cos(2t)}$, périodique de période T=π.

Son comportement est assez particulier (résonance paramétrique, existence de sous-harmoniques, etc.). Émile Mathieu l'a rencontrée (1865) en étudiant les vibrations d'une membrane elliptique.

Ses solutions seront appelées les fonctions de Mathieu.

• G. W. Hill, dans sa théorie de la Lune, étudiera aussi une équation semblable.
• G. Floquet étudiera aussi le comportement de ces solutions (notion d'exposants de Floquet)
• Félix Bloch, en 1930, réutilisera ces résultats en physique du solide cristallin (donc à coefficients périodiques) : on parle des "fonctions de Bloch dans l'espace des « k » " de la zone de Brillouin.
• Le pendule paramétrique (le botafumeiro par exemple) relève aussi de cette équation.
• Les cristaux photoniques ont réactualisé ces études.