Équation de Boltzmann

L'équation de Boltzmann (1872) est une équation intégro-différentielle de la théorie cinétique qui décrit l'évolution d'un gaz hors d'équilibre. Elle permet notamment de démontrer le théorème H et d'exprimer les équations de Navier-Stokes comme une petite perturbation de la distribution de Maxwell-Boltzmann en utilisant la méthode de Chapman-Enskog.

La première solution analytique complète a été obtenue dans le cas des interactions de type « sphères dures » par Seiji Ukai dans les années 1970, mais seulement pour des solutions proches de l'équilibre[1].

La plus grande avancée reste la théorie des solutions renormalisées de Ronald DiPerna et du lauréat de la médaille Fields Pierre-Louis Lions qui fournit l'existence de solution, même loin de l'équilibre. Leur régularité et unicité reste un problème ouvert très important[2].

Modèle mécanique du gaz

On considère un gaz de sphères dures constitué de $N$ atomes identiques de masse $m$ et de rayon $r$ . Ces atomes :

sont confinés dans une boîte ;
voyagent à vitesse constante entre les collisions ;
rebondissent élastiquement les uns sur les autres ;
rebondissent élastiquement sur les parois de la boîte.

Fonction de distribution à une particule

On note $f(\mathbf {r} ,\mathbf {u} ,t)$ la fonction de distribution à une particule du gaz, telle que :

$\mathrm {dN} \ =\ f(\mathbf {r} ,\mathbf {u} ,t)\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} \ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {u}$

représente le nombre de molécules de gaz situées à l'instant $t$ dans un petit volume d'espace $d^{3}\mathbf {r}$ autour du point $\mathbf {r}$ et ayant une vitesse $\mathbf {u}$ définie à $d^{3}\mathbf {u}$ près.

Équation de Boltzmann non relativiste

Opérateur de Liouville non relativiste (NR)

Soit un gaz placé dans un champ de force externe macroscopique $\mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)$ (par exemple, le champ de pesanteur local). L'opérateur de Liouville ${\hat {\mathbf {L} }}_{\mathrm {NR} }f$ décrivant la variation totale de la fonction de distribution à une particule $f(\mathbf {r} ,\mathbf {u} ,t)$ dans l'espace des phases à une particule est l'opérateur linéaire défini en mécanique non relativiste par :

${\hat {\mathbf {L} }}_{\mathrm {NR} }f\ =\ {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}\ =\ {\frac {\partial f}{\partial t}}\ +\ \mathbf {u} \cdot \nabla _{\mathbf {r} }f\ +\ {\frac {\mathbf {F} }{m}}\cdot \nabla _{\mathbf {u} }f$

Équation de Boltzmann non relativiste

Du fait des collisions, la fonction de distribution à une particule possède une variation totale non nulle ; elle obéit à l'équation de Boltzmann :

${\hat {\mathbf {L} }}[f]\ =\ \mathbf {C} [f]$

où $\mathbf {C}$ est l'opérateur de collision, opérateur intégral non linéaire. Historiquement, Boltzmann a obtenu l'expression analytique de cet opérateur de collision par une analyse fine des collisions à deux corps. Il est également possible de dériver l'équation de Boltzmann par une troncature des équations de la hiérarchie BBGKY utilisant l'hypothèse du chaos moléculaire.

Limite de Boltzmann-Grad

La limite dite de Boltzmann-Grad consiste à prendre la limite conjointe :

d'un nombre d'atomes $N\ \to \ +\ \infty$ ;
d'un rayon $r\ \to \ 0$ ;

en maintenant le produit $N\ r^{2}\ =\$ cte. En particulier, le volume exclu tend vers zéro dans cette limite : $N\ r^{3}\ \to \ 0$

Théorème de Lanford (1973)

Lanford a démontré rigoureusement[3] qu'un gaz de sphères dures dilué dans $\mathbb {R} ^{3}$ obéit à l'équation de Boltzmann dans la limite de Boltzmann-Grad, au moins pour un temps très court, égal seulement à un cinquième du temps de parcours moyen d'un atome[4].

En dépit de cette restriction sur la durée, ce théorème mathématique rigoureux est très important conceptuellement, puisque l'équation de Boltzmann entraîne le théorème H, à propos duquel Boltzmann fut accusé de pratiquer des « mathématiques douteuses ». Il n'en demeure pas moins qu'il reste à démontrer que ce résultat reste vrai pour des temps macroscopiques, ainsi que lorsque les atomes sont confinés dans une boîte.

Équation de Boltzmann relativiste

L'opérateur de Liouville s'écrit en relativité générale :

${\hat {\mathbf {L} }}_{\mathrm {GR} }\ =\ \sum _{\alpha }p^{\alpha }{\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}\ -\ \sum _{\alpha \beta \gamma }\Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma }p^{\beta }p^{\gamma }{\frac {\partial }{\partial p^{\alpha }}}$

où $p^{\alpha }$ est la quadri-impulsion et les $\Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma }$ sont les symboles de Christoffel.

Limites hydrodynamiques

Sixième problème de Hilbert

« Le livre de M. Boltzmann sur les Principes de la Mécanique nous incite à établir et à discuter du point de vue mathématique d'une manière complète et rigoureuse les méthodes fondées sur l'idée de passage à la limite, et qui de la conception atomique nous conduisent aux lois du mouvement des continua. »

Dérivation des équations de Navier-Stokes

Il est possible de dériver les équations de Navier-Stokes à partir de l'équation de Boltzmann par la méthode de Chapman-Enskog.

Notes et références

(en) Seiji Ukai, « On the existence of global solutions of mixed problem for non-linear Boltzmann equation », Proceedings of the Japan Academy, vol. 50,‎ 1974, p. 179–184
On peut citer également les extensions ultérieures de ces résultats au cas d'interactions à longue portée pour lesquelles le noyau de l'opérateur est singulier, voir respectivement Alexandre et Villani, On the Boltzmann equation for long-range interactions, Communications on Pure and Applied Mathematics 55 (2002), no. 1, 30--70 pour une extension (partielle) des solutions renormalisées dans ce cadre, et Gressman et Strain, Global classical solutions of the Boltzmann equation with long-range interactions, Proceedings of the National Academy of Sciences, vol. 107, no. 13, 5744–5749 pour une extension du résultat de Ukai dans ce cadre (s'inspirant également de travaux préalables de Yan Guo). On notera, en ce qui concerne ce dernier résultat, la communication douteuse scientifiquement par l'université de Pennsylvanie Mathematicians Solve 140-Year-Old Boltzmann Equation qui semble oublier les travaux précédents sur le sujet.
Oscar E Lanford III ; Time Evolution of Large Classical Systems, dans : Dynamical Systems, Theory and Application, J. Moser (éditeur), Springer-Verlag (1975). Lire également : Oscar E Lanford III ; On a derivation of the Boltzmann equation, dans : Nonequilibrium phenomena I: The Boltzmann equation, Joël L Lebowitz & Elliott W Montroll (éditeurs), North-Holland (1983), 3-17.
Temps moyen entre deux collisions consécutives.

Bibliographie

Ouvrages de référence

Anouk Barberousse ; La mécanique statistique - De Clausius à Gibbs, Collection Histoire des Sciences, Belin (2002), (ISBN 2-7011-3073-5). Cette collection originale propose une histoire du développement de la théorie cinétique des gaz basée sur des extraits des grands textes fondateurs (traduits en français) mis en perspective contemporaine par une historienne des sciences (CNRS). Accessible dès le niveau premier cycle universitaire.
Ludwig Boltzmann ; Leçons sur la théorie des gaz, Gauthier-Villars (1902-1905). Réédition Jacques Gabay (1987), (ISBN 2-87647-004-7).
Carlo Cercignani ; Ludwig Boltzmann - The man who Trusted Atoms, Oxford University Press (1998) 330 pp. (ISBN 0-19-850154-4). Biographie scientifique du grand professeur Boltzmann, qui a porté la théorie cinétique des gaz à son acmée. Par un professeur de Physique Mathématique de l'Université de Milan (Italie), spécialiste de l'équation de Boltzmann. Niveau plutôt second cycle universitaire.
Carlo Cercignani ; The Boltzmann Equation & its Applications, Series: Applied Mathematical Sciences 67, Springer-Verlag (1987), (ISBN 0-387-96637-4).
Carlo Cercignani, Reinhard Illner & Mario Pulvirenti ; The Mathematical Theory of Dilute Gases, Series: Applied Mathematical Sciences 106, Springer-Verlag (1994), (ISBN 0-387-94294-7).
Carlo Cercignani & Gilberto M. Kremer ; The Relativistic Boltzmann Equation: Theory and Applications, Series: Progress in Mathematical Physics 22, Birkhäuser (2002), (ISBN 3-7643-6693-1).
Lawrence Sklar ; Physics and Chance - Philosophical Issues in the Foundations of Statistical Mechanics, Cambridge University Press (1995), (ISBN 0-521-55881-6).

Cours

Noëlle Pottier ; Physique statistique hors d'équilibre : équation de Boltzmann, réponse linéaire., cours du DEA de Physique des Solides (Master 2) de la région parisienne (1999-2000). Fichiers PostScript
Jean Bellissard ; Mécanique Statistique des Systèmes hors d'Équilibre, cours de Master 2, Université Paul Sabatier (Toulouse). pdf.

Articles

Jos Uffink ; Boltzmann's Work in Statistical Physics, Stanford Encyclopedia of Philosophy (2004).
Jos Uffink ; Compendium of the foundations of classical statistical physics, (2006), à paraître dans : Handbook for Philsophy of Physics, J Butterfield & J Earman (éditeurs) (2007). pdf.
Sergio B. Volchan ; Probability as typicality, article soumis à : Studies in History and Philosophy of Modern Physics. ArXiv : physics/0611172.
Cédric Villani ; A Review of Mathematical Topics in Collisional Kinetic Theory, dans : Handbook of Mathematical Fluid Dynamics - Volume I, Susan Friedlander & Denis Serre (éditeurs), Elsevier Science (2002). .
Cédric Villani ; Limites hydrodynamiques de l'équation de Boltzmann, Astérisque 282, Séminaires Bourbaki, Vol. 2000/2001, Exp. 893 (2002), 365-405. pdf.
Laure Saint-Raymond ; À propos de la description des gaz parfaits, Images des Mathématiques, CNRS (2004), 126-130. pdf.
François Golse & Laure Saint-Raymond ; The Navier-Stokes Limit of the Boltzmann Equation for Bounded Collision Kernels, Inventiones Mathematicae, Volume 155, Number 1 (2004), 81–161.

Articles connexes

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[1] (en) Seiji Ukai, « On the existence of global solutions of mixed problem for non-linear Boltzmann equation », Proceedings of the Japan Academy, vol. 50,‎ 1974, p. 179–184

[2] On peut citer également les extensions ultérieures de ces résultats au cas d'interactions à longue portée pour lesquelles le noyau de l'opérateur est singulier, voir respectivement Alexandre et Villani, On the Boltzmann equation for long-range interactions, Communications on Pure and Applied Mathematics 55 (2002), no. 1, 30--70 pour une extension (partielle) des solutions renormalisées dans ce cadre, et Gressman et Strain, Global classical solutions of the Boltzmann equation with long-range interactions, Proceedings of the National Academy of Sciences, vol. 107, no. 13, 5744–5749 pour une extension du résultat de Ukai dans ce cadre (s'inspirant également de travaux préalables de Yan Guo). On notera, en ce qui concerne ce dernier résultat, la communication douteuse scientifiquement par l'université de Pennsylvanie Mathematicians Solve 140-Year-Old Boltzmann Equation qui semble oublier les travaux précédents sur le sujet.

[3] Oscar E Lanford III ; Time Evolution of Large Classical Systems, dans : Dynamical Systems, Theory and Application, J. Moser (éditeur), Springer-Verlag (1975). Lire également : Oscar E Lanford III ; On a derivation of the Boltzmann equation, dans : Nonequilibrium phenomena I: The Boltzmann equation, Joël L Lebowitz & Elliott W Montroll (éditeurs), North-Holland (1983), 3-17.

[4] Temps moyen entre deux collisions consécutives.