L'univers statique sans constante cosmologique

Pour avoir un univers statique, il faut que le facteur d'échelle soit constant, ce qui implique que ${\displaystyle H(t)=0}$, ${\displaystyle a(t)'=0}$ et ${\displaystyle a(t)''=0}$ à tout instant t. En injectant ces conditions dans les équations de Friedmann, on trouve :

${\displaystyle {\frac {8\pi G}{3c^{2}}}\rho _{e}-{\frac {k\cdot c^{2}}{a^{2}}}=0}$

${\displaystyle -{\frac {4\pi G}{3}}\left(\rho +3{\frac {P}{c^{2}}}\right)=0}$, ce qui est équivalent à ${\displaystyle \rho +3{\frac {P}{c^{2}}}=0}$.

On peut raisonnablement penser que la densité doit aussi rester constante, la matière n'étant pas diluée par l'expansion. On a alors ${\displaystyle {\frac {d\rho }{dt}}=0}$, ce qui simplifie l'équation du fluide en :

${\displaystyle 3H\left(\rho +{\frac {P}{c^{2}}}\right)=0}$, ce qui est équivalent à ${\displaystyle \rho +{\frac {P}{c^{2}}}=0}$.

La première équation est parfaitement possible. Mais les deux autres nous disent que si matière il y a, sa densité doit être compensée par sa pression. La matière doit donc avoir une pression négative, ce qui n'a pas de sens physique.

L'impossibilité d'un univers statique avec ces équations n'est pas surprenante. En effet, les équations de Friedmann nous disent que l'expansion dépend de la courbure et de la gravité. La gravité est censée lutter contre l'expansion, en attirant toute la matière de l'univers vers un même point central, dans un cadre newtonien. La première équation de Friedmann nous dit qu'un univers statique n'est possible que si la courbure compense exactement la gravité. Mais les deux autres équations nous disent que c'est impossible, sauf à placer des contraintes non-physiques sur la matière.

L’invention de la constante cosmologique

Quand Einstein vit que les équations de Friedmann impliquaient un univers en expansion, il leur ajouta un terme censé corriger ce "problème", rendre statique l'univers des équations de Friedmann. Pour obtenir un univers stationnaire (stable, sans expansion), il pris les équations de la relativité générale et ajouta un terme au bon endroit (dans le tenseur énergie-impulsion, pour les connaisseurs). Les équations de Friedmann étaient alors modifiées, et sont devenues ceci :

${\displaystyle H^{2}={\frac {8\pi G}{3c^{2}}}\rho _{e}-{\frac {k\cdot c^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\Lambda c^{2}}{3}}}$

${\displaystyle {\frac {a''}{a}}={\frac {\Lambda c^{2}}{3}}-{\frac {4\pi G}{3c^{2}}}(\rho _{e}+3P)}$

Le terme ${\displaystyle \Lambda }$, ajouté aux équations de Friedmann, a reçu le nom de constante cosmologique.

L'ajout de la constante cosmologique modifie la dynamique des équations. Dans la première équation de Friedmann, la constante sert à compenser l'effet de la gravité. L'idée est que la somme courbure + constante cosmologique compense exactement la densité, ce qui annule l'expansion. En soi, on pouvait faire la même chose avec la courbure, mais avec un défaut : la courbure n'est pas présente dans la seconde équation de Friedmann, ce qui ne réglait qu'une partie du problème. Mais la constante cosmologique n'a pas ce problème. Elle est bien présente dans la seconde équation de Friedmann et peut compenser l'effet de la densité avec la valeur appropriée. On a alors :

${\displaystyle {\frac {8\pi G}{3c^{2}}}\rho _{e}-{\frac {k\cdot c^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\Lambda c^{2}}{3}}=0}$

${\displaystyle {\frac {\Lambda c^{2}}{3}}-{\frac {4\pi G}{3c^{2}}}(\rho _{e}+3P)=0}$

Les propriétés de l'énergie noire

L'énergie noire a une masse positive, mais a aussi une pression négative. Or, la relativité générale nous dit que la pression est une forme d'énergie, qui a donc un effet gravitationnel. Dans cette théorie, toute énergie a un poids, une sorte de masse fictive, et la pression ne fait pas exception. Mais pour la matière ordinaire, la pression est positive, c'est à dire qu'elle a un effet gravitationnel normal, similaire à une masse positive. Elle a donc tendance à ralentir l'expansion, dans une certaine mesure. Mais l'énergie noire a une pression négative, ce qui est particulièrement original (même si on observe des phénomènes similaires dans certains cristaux ou lors de changements de phases). Du point de vue de la relativité générale, une pression négative implique un effet anti-gravitationnel, une attraction gravitaire dirigée vers l'extérieur. En clair, elle agit comme une force répulsive qui contrecarre la gravité et augmente l'expansion au lieu de la ralentir.

L'énergie noire se caractériserait par une densité constante au cours du temps, même en tenant compte de l'expansion de l'univers. La constance de la densité d'énergie noire a une conséquence assez intéressante : la densité étant constante, le facteur de Hubble est constant lui aussi. On peut remarquer que cela implique que l'énergie de l'univers ne se conserve pas, vu que cette densité constante est couplée à une augmentation du volume de l'univers par l'expansion. Aussi improbable que cette hypothèse puisse paraître, elle correspond cependant bien aux observations.

Les scientifiques ont tenté d'expliquer cette énergie noire de plusieurs manières. La tentative la plus connue se base sur une prédiction assez singulière de la théorie quantique des champs. D'après cette théorie, le vide est censé être rempli d'une énergie appelé énergie du vide. On pensait autrefois qu'il s'agissait du candidat idéal pour expliquer l'énergie noire. Jusqu'à ce que des physiciens fassent les calculs et montrent que l'énergie du vide donne des valeurs aberrantes pour la densité d'énergie noire. Leurs résultats donnaient une énergie du vide près de ${\displaystyle 10^{120}}$ fois plus grandes qu'observée, ce qui est aujourd'hui considéré comme la "pire prédiction théorique de l'histoire de la physique".

Énergie noire et équations de Friedmann

La constante de la densité d'énergie noire permet de simplifier la première équation de Friedmann, en utilisant la densité d'énergie noire ${\displaystyle \rho _{\Lambda }}$.

${\displaystyle H(t)^{2}={\frac {8\pi G}{3c^{2}}}\left(\rho _{\Lambda }-\rho _{k}(t)+\rho _{m}(t)+\rho _{r}(t)\right)}$

Rappelons que la densité de matière, de rayonnement et de courbure suivent les relations suivantes : ${\displaystyle \rho _{m}(t)={\frac {\rho _{m0}}{a(t)^{3}}}}$, ${\displaystyle \rho _{r}(t)={\frac {\rho _{r0}}{a(t)^{4}}}}$ et ${\displaystyle \rho _{k}(t)={\frac {K}{a(t)^{2}}}}$. En substituant dans l'équation de Friedmann, on trouve :

${\displaystyle H(t)^{2}={\frac {8\pi G}{3c^{2}}}\left(\rho _{\Lambda }-{\frac {\rho _{k}0}{a(t)^{2}}}+{\frac {\rho _{m}0}{a(t)^{3}}}+{\frac {\rho _{r}0}{a(t)^{4}}}\right)}$

Par définition, ${\displaystyle H={\frac {a'(t)}{a(t)}}}$. En faisant le remplacement dans l'équation précédente et en faisant quelques manipulations algébriques, on trouve :

${\displaystyle {\frac {a'(t)^{2}}{a(t)^{2}}}={\frac {8\pi G}{3c^{2}}}\left(\rho _{\Lambda }-{\frac {\rho _{k}0}{a(t)^{2}}}+{\frac {\rho _{m}0}{a(t)^{3}}}+{\frac {\rho _{r}0}{a(t)^{4}}}\right)}$

On multiplie par ${\displaystyle a(t)^{2}}$ :

${\displaystyle \left({\frac {da}{dt}}\right)^{2}={\frac {8\pi G}{3c^{2}}}\left(a^{2}\rho _{\Lambda }-\rho _{k}0+{\frac {\rho _{m}0}{a}}+{\frac {\rho _{r}0}{a^{2}}}\right)}$

À l'heure actuelle, la constante cosmologique n'est qu'un paramètre ad-hoc qui permet de faire coller prédictions théoriques et observations. On ne connaît pas encore son origine, même si les physiciens ont quelques pistes. L'interprétation de ce terme varie suivant les physiciens.