Propriété

Soit ${\displaystyle (O;{\vec {i}};{\vec {j}})}$ un repère et ${\displaystyle {\vec {u}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}}$ et ${\displaystyle {\vec {v}}{\begin{pmatrix}x\prime \\y\prime \end{pmatrix}}}$ deux vecteurs de ce repère.

Si les coordonnées des vecteurs ${\displaystyle {\vec {u}}}$ et ${\displaystyle {\vec {v}}}$ sont proportionnelles, c'est-à-dire si ${\displaystyle {\frac {x}{y}}={\frac {x\prime }{y\prime }}}$, alors ${\displaystyle {\vec {u}}}$ et ${\displaystyle {\vec {v}}}$ sont colinéaires.

Autrement dit, si ${\displaystyle {\vec {u}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}}$ et ${\displaystyle {\vec {v}}{\begin{pmatrix}x\prime \\y\prime \end{pmatrix}}}$ sont colinéaires, alors ${\displaystyle xy\prime -x\prime y=0}$ et vice versa.

Exemples

Propriété

Soient ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ et ${\displaystyle C}$ trois points du plan.

Si les vecteurs ${\displaystyle {\vec {AB}}}$ et ${\displaystyle {\vec {AC}}}$ sont colinéaires, alors ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ et ${\displaystyle C}$ sont alignés.

Soient ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ et ${\displaystyle D}$ quatre points du plan.

Si les vecteurs ${\displaystyle {\vec {AB}}}$ et ${\displaystyle {\vec {CD}}}$ sont colinéaires, alors les droites ${\displaystyle (AB)}$ et ${\displaystyle (CD)}$ sont parallèles.

Exemple

Dans un repère ${\displaystyle (O;{\vec {i}};{\vec {j}})}$, on donne ${\displaystyle A(2;1)}$, ${\displaystyle B(9;4)}$, ${\displaystyle C(-3;0)}$ et ${\displaystyle D(11;6)}$. Montrer que le quadrilatère ${\displaystyle ABCD}$ est un trapèze.

Solution

${\displaystyle {\vec {AB}}{\begin{pmatrix}9-2\\4-1\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {\vec {AB}}{\begin{pmatrix}7\\3\end{pmatrix}}}$

et

${\displaystyle {\vec {CD}}{\begin{pmatrix}11-(-3)\\6-0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {\vec {CD}}{\begin{pmatrix}14\\6\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle 7\times 6-3\times 14}$

${\displaystyle 42-42=0}$

Les vecteurs ${\displaystyle {\vec {AB}}}$ et ${\displaystyle {\vec {CD}}}$ sont colinéaires, donc les droites ${\displaystyle (AB)}$ et ${\displaystyle (CD)}$ sont parallèles.