Variables aléatoires sur les ensembles finis/Loi de probabilité d'une variable aléatoire

Variables aléatoires

Définition

Une variable aléatoire est une fonction qui associe à chaque résultat d'une expérience aléatoire un nombre. On la note souvent X. Une variable aléatoire est définie sur l'univers $\Omega$ . On note :

$X:\Omega \rightarrow \mathbb {R}$

Exemple

Considérons l'expérience aléatoire consistant à lancer deux dés équilibrés.

On peut considérer l'univers $\Omega$ des couples de numéros (a,b)

où a est le résultat du premier dé et b celui du second.

Définissons sur $\Omega$ la variable aléatoire X

qui au couple (a,b) associe a+b la somme des deux numéros sortis :

$X((a,b))=a+b$

Plusieurs questions peuvent se poser à propos de X,

notamment quelle est la probabilité des différentes valeurs qu'elle peut prendre.

Loi de probabilité d'une variable aléatoire

Définition

Si X est une variable aléatoire,

on donne la loi de probabilité de X en construisant un tableau

avec dans la première ligne les valeurs possibles pour X,

et dans la seconde ligne leur probabilité.

Exemple

Reprenons l'exemple précédent. Les évènements élémentaires (a,b) sont équiprobables

et ils sont au nombre de 36 (6 résultats possibles pour a et 6 pour b).

On peut ensuite calculer :

$p(12)=p((6,6))={\frac {1}{36}}$

$p(6)=p((1,5))+p((2,4))+p((3,3))+p((4,2))+p(5,1)={\frac {5}{36}}$

et ainsi de suite. On obtient la loi de probabilité de X :

$x_{i}$	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
$p_{i}$	1/36	2/36	3/36	4/36	5/36	6/36	5/36	4/36	3/36	2/36	1/36

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