Variables aléatoires sur les ensembles finis/Loi binomiale

Combinaisons

Factorielle

Définition

Soit n un entier supérieur ou égal à 1.

Le nombre factorielle de n, noté n!, désigne le produit de tous les entiers de 1 à n :

$n!=n\times (n-1)\times (n-2)\times \dots \times 2\times 1$ .

Par convention, $0!=1$ .

Combinaisons

Définition

Soient n et k des entiers tels que $0\leq k\leq n$ et E un ensemble à n éléments.

Une combinaison de k éléments de E est une partie de E à k éléments.

Notation des combinaisons

Théorème

Étant donné un ensemble E de $n$ objets,

le nombre ${\binom {n}{k}}$ de manières de choisir $k$ objets parmi ces $n$ , appelé coefficient binomial, est égal au nombre de combinaisons de $k$ éléments de E, et vaut :

{\binom {n}{k}}={\frac {n\times (n-1)\times \dots \times (n-k+1)}{k!}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}

.

En France, on utilisait la notation $\mathrm {C} _{n}^{k}$ pour ${\binom {n}{k}}$ . Nous utiliserons dans cette leçon la notation ${\binom {n}{k}}$ , qui est internationalement reconnue.

Propriétés des combinaisons

Propriété

Pour tous entiers n et k tels que $0\leq k\leq n$ :
${\binom {n}{k}}={n \choose n-k}$ .

C'est la propriété de symétrie, qui se démontre par exemple en calculant avec les factorielles.
Pour tous entiers n et k tels que $1\leq k\leq n-1$ :
${\binom {n}{k}}={n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}$ .

C'est la formule de Pascal.

Formule du binôme

Théorème

Pour tous nombres réels ou complexes $a$ et $b$ et pour tout entier naturel $n$ :

(a+b)^{n}=a^{n}+{\binom {n}{1}}a^{n-1}b+{\binom {n}{2}}a^{n-2}b^{2}+\dots +{n \choose n-1}ab^{n-1}+b^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\;a^{n-k}b^{k}

.

Loi binomiale

On répète n épreuves de Bernoulli (cf. chapitre 4), indépendantes et de même paramètre p,

c'est-à-dire n expériences aléatoires à deux issues possibles,

la probabilité d'un succès étant p, celle d'un échec étant q = 1 – p.

On note $X_{n}$ le nombre de succès obtenus.

Calcul des $p_{k}$

Calculons $p(k)=P(X_{n}=k)$ . La probabilité d'une éventualité avec k succès et n – k échecs a pour valeur p^kq^n–k.

De plus, il y a autant de telles éventualités que de manières de choisir k nombres parmi n, c'est-à-dire ${\binom {n}{k}}$ .

Finalement, la variable aléatoire $X_{n}$ suit la loi suivante :

Définition

Une variable aléatoire $X$ suit une loi de probabilité B(n, p),

appelée loi binomiale de paramètre (n, p) si :

P(X=k)={\binom {n}{k}}\ p^{k}q^{n-k}

.

Exemple

On lance 20 fois un dé équilibré à 6 faces. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement 12 fois 6 ?

Solution

Probabilité de réussir 1 lancer : $p={\frac {1}{6}}$ .

Probabilité de rater 1 lancer : $1-p={\frac {5}{6}}$ .

Nombre de succès : $k=12$ .

$P(X=12)={20 \choose 12}\times \left({\frac {1}{6}}\right)^{12}\times \left({\frac {5}{6}}\right)^{8}$ .

Espérance

Théorème

Si $X$ suit une loi de probabilité B(n, p), alors son espérance vaut :

\mathbb {E} (X)=np

.

Exemple

On lance 20 fois un dé équilibré à 6 faces.

On gagne 10 euros à chaque fois que l’on obtient soit 1, soit 6.

Quelle est l'espérance du gain ?

Solution

Le gain (en euros) est $G=10X$ où $X$ suit une loi de probabilité B(20, 1/3) donc $\mathbb {E} (G)=10\,\mathbb {E} (X)=10\times 20\times 1/3={\frac {200}{3}}\approx 66{,}67$ .

Variance et écart-type

Théorème

Si $X$ suit une loi de probabilité B(n, p), alors :

$\mathrm {V} (X)=np(1-p)$ ;
$\sigma _{X}={\sqrt {np(1-p)}}$ .

Démonstration

X est la somme de n variables aléatoires indépendantes suivant toutes la (même) loi de Bernoulli de paramètre p, prenant la valeur 1 en cas de succès (probabilité p) et 0 en cas d'échec (probabilité 1 – p) ; ces variables aléatoires ont pour espérance p et pour variance p(1 – p).

Suite de l'exemple précédent

On lance 20 fois un dé équilibré à 6 faces.

On gagne 10 euros à chaque fois que l’on obtient soit 1, soit 6.

Quels sont la variance et l'écart-type du gain ?

Solution

$\mathrm {V} (G)=10^{2}\,\mathrm {V} (X)=10^{2}\times 20\times 1/3\times 2/3={\frac {4000}{9}}$ donc $\sigma _{G}={\frac {20}{3}}{\sqrt {10}}\approx 21$ .

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Factorielle

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Loi binomiale

Calcul des p k {\displaystyle p_{k}}

Espérance

Variance et écart-type

Calcul des $p_{k}$