Variables aléatoires sur les ensembles finis/Exercices/Contrôle de qualité et loi binomiale

Exercice 1-1

Une machine fabrique des pièces pour camions. Sur un grand nombre de pièces par cette machine, la proportion de pièces de première qualité est de 90 %.

On considère un échantillon de 10 pièces, et on note X la variable aléatoire donnant le nombre de pièces de première qualité dans l'échantillon.

Donner la loi de probabilité de X.
Quelle est la probabilité d’avoir au moins 9 pièces de première qualité dans un échantillon de 10 pièces ?
Quelle est la probabilité d’avoir plus de 3 pièces de qualité moindre dans l'échantillon ?

Solution

Binomiale de paramètres 10 et 9/10.
$a=P(X\geq 9)={\frac {{\binom {10}{9}}9^{9}+{\binom {10}{10}}9^{10}}{10^{10}}}=0{,}9^{9}\times 1{,}9\approx 0{,}736$ .
$1-P(X\geq 7)=1-a-{\frac {{\binom {10}{8}}9^{8}+{\binom {10}{7}}9^{7}}{10^{10}}}=1-0{,}9^{9}\times 1{,}9-0{,}9^{7}\times 0{,}525\approx 0{,}0128$ .

Exercice 1-2

Dans un atelier, on fabrique des pièces métalliques.

Le pourcentage de pièces défectueuses sortant de l'atelier est de 3 %.

À la sortie de l'atelier, on prélève au hasard, avec remise, 15 pièces dans la production totale. On note Y le nombre de pièces défectueuses.

Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire Y ?
Calculer la probabilité d’avoir au plus une pièce défectueuse.

Solution

Binomiale de paramètres 15 et 3/100.
$P(Y\leq 1)={\frac {{\binom {15}{0}}3^{0}\times 97^{15}+{\binom {15}{1}}3^{1}\times 97^{14}}{100^{15}}}=0{,}97^{14}\times 1{,}42\approx 0{,}927$ .

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