Présentation
La loi de Cauchy, ou loi de Lorentz, est un exemple simple de loi n'admettant pas d'espérance, ni de moment d'ordre supérieur.
Définition
La loi de Cauchy est une loi de probabilité pour les variables aléatoires continues.
On la définit au moyen d'une densité de probabilité (voir le chapitre 1).
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La densité de probabilité d'une variable aléatoire continue suivant une loi de Cauchy est :
- .
La courbe est symétrique par rapport à la droite (paramètre de location) et représente l'étalement de la courbe (paramètre d'échelle).
Fonctions de densité
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La fonction de densité d'une loi de Cauchy rappelle celle d'une loi normale, à savoir une forme de cloche, mais avec un étalement plus large.
Moments et médiane
Moments
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Une loi de Cauchy n'admet aucun moment.
donc, par le critère de Riemann, .
De même, une simple étude à l'infini montre que toute intégrale du genre diverge, toujours par le critère de Riemann :
.
En particulier, une loi de Cauchy n'admet aucune espérance formellement. Toutefois :
donc
- , ce qui laisse penser à une espérance, et le paramètre est souvent considéré comme tel.
Médiane
Toutefois, ce paramètre a une autre propriété qui doit être retenue :
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La médiane d'une loi de Cauchy de paramètres est .
- .