< Variables aléatoires continues < Exercices
1. Soient , n variables aléatoires indépendantes suivant toutes une même loi exponentielle . Montrez que la fonction de densité de la variable est .
- Rappel : Si X admet comme fonction de densité et Y admet comme fonction de densité , avec X et Y indépendantes, la fonction de densité de X+Y est le produit de convolution
- .
2. Plus généralement, on pose pour , , la fonction Gamma d'Euler. On note alors . Vérifiez qu'elle a les propriétés d'une fonction de densité. On appelle la loi associée, la loi Gamma de paramètres et .
Solution
1. Simple récurrence, en utilisant le rappel : la fonction de densité de est bien , et
- .
2. est continue positive et d'intégrale égale à 1 (par changement de variable ).
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