Variable aléatoire discrète/Espérance, variance et écart-type

Espérance mathématique

Soit $X$ une variable aléatoire. Supposons que la variable aléatoire prenne les valeurs $x_{1},\,x_{2},\,x_{3},\,\cdots ,\,x_{n}$ .

On appelle espérance mathématique, l'expression :

E(X)=x_{1}\times p(X=x_{1})+x_{2}\times p(X=x_{2})+\cdots +x_{n}\times p(X=x_{n})

ou

E(X)=\sum _{k=1}^{n}{x_{k}\times p(X=x_{k})}

Concrètement, l'espérance mathématique est la valeur de la variable aléatoire que l'on peut espérer avoir en moyenne si l'on répète l'expérience un très grand nombre de fois.

Par exemple, si on reprend la variable aléatoire qui, à tout lancé de dé, associe la valeur qui apparaît sur le dé une fois celui-ci immobilisé. Nous avions vu au chapitre précédent que :

$p(X=1)={\frac {1}{6}}$
$p(X=2)={\frac {1}{6}}$
$p(X=3)={\frac {1}{6}}$
$p(X=4)={\frac {1}{6}}$
$p(X=5)={\frac {1}{6}}$
$p(X=6)={\frac {1}{6}}$

L'espérance mathématique sera alors :

{\begin{aligned}E(X)&=1\times p(X=1)+2\times p(X=2)+3\times p(X=3)+4\times p(X=4)+5\times p(X=5)+6\times p(X=6)\\&=1\times {\frac {1}{6}}+2\times {\frac {1}{6}}+3\times {\frac {1}{6}}+4\times {\frac {1}{6}}+5\times {\frac {1}{6}}+6\times {\frac {1}{6}}\\&={\frac {21}{6}}\\&=3,5\end{aligned}}

Si on lance le dé un très grand nombre de fois et que l'on fait la moyenne des valeurs obtenues, on trouvera une valeur proche de 3,5.

Linéarité de l'espérance mathématique

Soit $X$ une variable aléatoire définie sur un univers $\Omega$ et soit $a$ et $b$ deux réel. Nous avons :

E(aX+b)=aE(X)+b

Démonstration

Supposons $\Omega (aX+b)=\{x_{1},\,x_{2},\,x_{3},\,\cdots ,\,x_{n}\}$

Par définition, nous avons :

{\begin{aligned}E(aX+b)&=x_{1}.p(aX+b=x_{1})+x_{2}.p(aX+b=x_{2})+\cdots +x_{n}.p(aX+b=x_{n})\\&=x_{1}.p\left(X={\frac {x_{1}-b}{a}}\right)+x_{2}.p\left(X={\frac {x_{2}-b}{a}}\right)+\cdots +x_{n}.p\left(X={\frac {x_{n}-b}{a}}\right)\\&=(x_{1}-b).p\left(X={\frac {x_{1}-b}{a}}\right)+(x_{2}-b).p\left(X={\frac {x_{2}-b}{a}}\right)+\cdots +(x_{n}-b).p\left(X={\frac {x_{n}-b}{a}}\right)+b\left[p\left(X={\frac {x_{1}-b}{a}}\right)+p\left(X={\frac {x_{2}-b}{a}}\right)+\cdots +p\left(X={\frac {x_{n}-b}{a}}\right)\right]\\&=a\left[{\frac {x_{1}-b}{a}}.p\left(X={\frac {x_{1}-b}{a}}\right)+{\frac {x_{2}-b}{a}}.p\left(X={\frac {x_{2}-b}{a}}\right)+\cdots +{\frac {x_{n}-b}{a}}.p\left(X={\frac {x_{n}-b}{a}}\right)\right]+b\times 1\\&=a.E(X)+b\end{aligned}}

Variance

La variance est une grandeur permettant d'apprécier comment varie une variable aléatoire. En statistique la variance est la moyenne des écarts par rapport à la moyenne. Intuitivement, nous définirons donc la variance d'une variable aléatoire comme l'espérance mathématique du carré de l'écart par rapport à l'espérance mathématique de cette variable.

La variance $V(X)$ de cette variable aléatoire sera définie par :

$V(X)=E[(X-E[X])^{2}]$

Ce qui donne dans le cas où $X$ est une variable aléatoire à valeur discrète:

V(X)=(x_{1}-E(X))^{2}\times p(X=x_{1})+(x_{2}-E(X))^{2}\times p(X=x_{2})+\cdots +(x_{n}-E(X))^{2}\times p(X=x_{n})

ou

V(X)=\sum _{k=1}^{n}{(x_{k}-E(X))^{2}\times p(X=x_{k})}

Linéarité de la variance

Soit $X$ une variable aléatoire et $a$ et $b$ deux réels.

V(aX+b)=a^{2}V(X)

Démonstration

${\begin{aligned}V(aX)&=E\left[(a.X-E(a.X))^{2}\right]\\&=E\left[(a.X-a.E(X))^{2}\right]\\&=E\left[a^{2}\times (X-E(X))^{2}\right]\\&=a^{2}\times E\left[(X-E(X))^{2}\right]\\&=a^{2}.V(X)\end{aligned}}$

Écart-type

Soit $X$ une variable aléatoire. L'écart-type de $X$ , noté $\sigma (X)$ , est défini par :

\sigma (X)={\sqrt {V(X)}}

Linéarité de l'écart-type

Soit $X$ une variable aléatoire et $a$ et $b$ deux réels.

\sigma (aX+b)=|a|\sigma (X)

Cet article est issu de Wikiversity. Le texte est sous licence Creative Commons - Attribution - Partage dans les Mêmes. Des conditions supplémentaires peuvent s'appliquer aux fichiers multimédias.