${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle \left|x\right|={\sqrt {x^{2}}}}$.

La valeur absolue d'un nombre est donc, pour tout réel ${\displaystyle x}$, le nombre qui, élevé au carré, équivaut à ${\displaystyle x}$ élevé au carré ; c'est-à-dire ${\displaystyle x}$.

Ainsi, on appelle valeur absolue d'un réel ${\displaystyle a}$ le nombre noté ${\displaystyle |a|}$

• qui est égal au nombre ${\displaystyle a}$ si ${\displaystyle a>0}$
• et au nombre ${\displaystyle -a}$ si ${\displaystyle a<0}$

La valeur absolue d'un nombre est donc tout simplement ce même nombre à qui l’on a ôté le signe négatif s'il l'avait.

Soient a et b deux réels. La distance entre a et b est :

${\displaystyle d(a,b)=|b-a|=|a-b|}$