Valeur absolue/Exercices/Valeur absolue et inégalités

Exercice 1

En utilisant l'interprétation de la valeur absolue en termes de distance, écrire sous forme d'intervalles ou d'accolades les ensembles de solutions des (in)équations suivantes :

$|x-3|={\frac {1}{2}}$ ;
$|x-7{,}5|={\frac {1}{2}}$ ;
$|x+2|\geq {\sqrt {3}}$ ;
$|x+2|>{\sqrt {3}}$ ;
$|x+{\sqrt {2}}|=3$ ;
$|x+3{\sqrt {2}}|={\sqrt {2}}$ ;
$|x-8|<5$ ;
$|5-x|\leq 5$ ;
$|5-x|=3{,}2$ .

Solution

$S=\{2{,}5,\,3{,}5\}$ .
$S=\{7,\,8\}$ .
$S=\left]-\infty ,-2-{\sqrt {3}}\right]\cup \left[-2+{\sqrt {3}},+\infty \right[$ .
$S=\left]-\infty ,-2-{\sqrt {3}}\right[\cup \left]-2+{\sqrt {3}},+\infty \right[$ .
$S=\{-{\sqrt {2}}-3,-{\sqrt {2}}+3\}$ .
$S=\{-4{\sqrt {2}},\,-2{\sqrt {2}}\}$ .
$S=\left]3,\,13\right[$ .
$S=\left[0,\,10\right]$ .
$S=\{1{,}8,\,8{,}2\}$ .

Exercice 2

1. Résoudre dans $\mathbb {R}$ l'équation : $|x-3|=|x+1|$ .

Solution

$|x-3|=|x+1|\Leftrightarrow x$ est équidistant de $3$ et $-1\Leftrightarrow x={\frac {3+(-1)}{2}}\Leftrightarrow x=1$ .

2. Résoudre dans $\mathbb {R}$ l'inéquation : $|2x-11|<|x-5|$ .

Solution

Rappelons que $|A|<|B|$ est équivalent :

si $B\geq 0$ : à $-B<A<B$ ;
si $B<0$ : à $-B>A>B$ .

Premier cas :

si $x-5\geq 0$ c'est-à-dire si $x\geq 5$ , alors

${\begin{aligned}|2x-11|<|x-5|&\Leftrightarrow -(x-5)<2x-11<x-5\\&\Leftrightarrow -x+5<2x-11\quad {\text{et}}\quad 2x-11<x-5\\&\Leftrightarrow 16<3x\quad {\text{et}}\quad x<6\\&\Leftrightarrow {\frac {16}{3}}<x<6.\end{aligned}}$

Puisque $5<{\frac {16}{3}}<6$ , on obtient un premier intervalle de solutions : $\left]{\frac {16}{3}},6\right[$ .

Second cas : de même, si $x<5$ , alors $|2x-11|<|x-5|\Leftrightarrow {\frac {16}{3}}>x\quad {\text{et}}\quad x>6$ .

Ce deuxième cas n'admet pas de solution.

Finalement, $S=\left]{\frac {16}{3}},6\right[$ .

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