1°  ${\displaystyle \tan 5x=\tan \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)\Leftrightarrow x\equiv {\frac {\pi }{12}}\mod {\frac {\pi }{6}}}$.

2°  ${\displaystyle \tan 6x=\tan \left({\frac {\pi }{4}}-2x\right)\Leftrightarrow x\equiv {\frac {\pi }{32}}\mod {\frac {\pi }{8}}}$.

3°  ${\displaystyle \sin {\frac {2x}{3}}=\cos x\Leftrightarrow {\frac {\pi }{2}}-{\frac {2x}{3}}\equiv \pm x\mod 2\pi \Leftrightarrow x\equiv {\frac {3\pi }{10}}\mod {\frac {6\pi }{5}}{\text{ ou }}x\equiv -{\frac {3\pi }{2}}\mod 6\pi }$.

1°  ${\displaystyle \sin x<-{\frac {1}{2}}\Leftrightarrow \exists k\in \mathbb {Z} \quad -{\frac {5\pi }{6}}+2k\pi <x<-{\frac {\pi }{6}}+2k\pi }$.

2°  ${\displaystyle \cos x>{\frac {\sqrt {3}}{2}}\Leftrightarrow \exists k\in \mathbb {Z} \quad -{\frac {\pi }{6}}+2k\pi <x<{\frac {\pi }{6}}+2k\pi }$.

3°  ${\displaystyle \tan x\notin \left[-1,1\right]\Leftrightarrow \exists k\in \mathbb {Z} \quad -{\frac {\pi }{2}}+k\pi <x<-{\frac {\pi }{4}}+k\pi {\text{ ou }}{\frac {\pi }{4}}+k\pi <x<{\frac {\pi }{2}}+k\pi }$.

1°  ${\displaystyle s^{2}-3s+2<0\Leftrightarrow 1<s<2}$ donc ${\displaystyle \sin ^{2}x-3\sin x+2<0}$ n'a pas de solution.

2°  ${\displaystyle 2s^{2}-3s+1<0\Leftrightarrow {\frac {1}{2}}<s<1}$ donc un réel ${\displaystyle x}$ est solution de ${\displaystyle 2\sin ^{2}x-3\sin x+1<0}$ si et seulement si ${\displaystyle \exists k\in \mathbb {Z} \quad \left({\frac {\pi }{6}}+2k\pi <x<{\frac {5\pi }{6}}+2k\pi {\text{ et }}x\neq {\frac {\pi }{2}}+2k\pi \right)}$.

3°  Un réel ${\displaystyle x\in \left]0,2\pi \right[}$ est solution de ${\displaystyle \sin x-\sin 2x+\sin 3x>0}$, c'est-à-dire de ${\displaystyle \left(2\cos x-1\right)\sin 2x>0}$, si et seulement si ${\displaystyle 0<x<{\frac {\pi }{3}}{\text{ ou }}{\frac {\pi }{2}}\leq x<\pi {\text{ ou }}{\frac {3\pi }{2}}\leq x<{\frac {5\pi }{3}}}$.

1°  Le discriminant « réduit » (c'est-à-dire divisé par 4) de l'équation ${\displaystyle 4s^{2}-2\left({\sqrt {3}}-1\right)s-m=0}$ est ${\displaystyle \Delta '=\left({\sqrt {3}}-1\right)^{2}+4m=4(1+m)-2{\sqrt {3}}}$.

Il ne peut y avoir de racines réelles que si ${\displaystyle \Delta '\geq 0}$, c'est-à-dire si ${\displaystyle m\geq {\frac {\sqrt {3}}{2}}-1}$. Les deux racines sont alors ${\displaystyle s_{\pm }={\frac {{\sqrt {3}}-1\pm {\sqrt {\Delta '}}}{4}}}$.

• Si ${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}-1\leq m\leq 6-2{\sqrt {3}}}$, il y a en général ${\displaystyle {\pmod {2\pi }}}$ 4 solutions : ${\displaystyle \alpha _{+}}$, ${\displaystyle \pi -\alpha _{+}}$, ${\displaystyle \alpha _{-}}$ et ${\displaystyle \pi -\alpha _{-}}$, pour ${\displaystyle \alpha _{+},\alpha _{-}\in \mathbb {R} }$ tels que ${\displaystyle \sin \alpha _{\pm }=s_{\pm }}$ (avec, dans le cas limite ${\displaystyle m=6-2{\sqrt {3}}}$, seulement 3 solutions car ${\displaystyle s_{+}=1}$ donc ${\displaystyle \alpha _{+}\equiv \pi -\alpha _{+}\equiv {\frac {\pi }{2}}}$).
• Si ${\displaystyle 6-2{\sqrt {3}}<m\leq 2+2{\sqrt {3}}}$, ${\displaystyle -1\leq s_{-}<1<s_{+}}$ donc il y a en général ${\displaystyle {\pmod {2\pi }}}$ 2 solutions : ${\displaystyle \alpha _{-}{\pmod {2\pi }}}$ et ${\displaystyle \pi -\alpha _{-}{\pmod {2\pi }}}$ (avec, dans le cas limite ${\displaystyle m=2+2{\sqrt {3}}}$, seulement une solution car ${\displaystyle s_{-}=-1}$ donc ${\displaystyle \alpha _{-}\equiv \pi -\alpha _{-}\equiv -{\frac {\pi }{2}}}$).
• Si ${\displaystyle m>2+2{\sqrt {3}}}$, il n'y a pas de solution car ${\displaystyle s_{-}<-1}$ et ${\displaystyle s_{+}>1}$.

On aboutit aux mêmes conclusions en étudiant les variations sur ${\displaystyle \left[-1,1\right]}$ du polynôme ${\displaystyle 4s^{2}-2\left({\sqrt {3}}-1\right)s}$.

2°  Si ${\displaystyle m=0}$, l'équation est ${\displaystyle \sin x=-{\frac {1}{2}}}$ et ses solutions ${\displaystyle {\pmod {2\pi }}}$ sont ${\displaystyle -{\frac {\pi }{6}}}$ et ${\displaystyle -{\frac {5\pi }{6}}}$.

Si ${\displaystyle m\neq 0}$, le discriminant réduit de l'équation ${\displaystyle ms^{2}-2s+m-1=0}$ est ${\displaystyle \Delta '=1-m\left(m-1\right)=-m^{2}+m+1}$.

Il ne peut y avoir de racines réelles que si ${\displaystyle \Delta '\geq 0}$, c'est-à-dire si ${\displaystyle {\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\leq m\leq {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$. Les deux racines sont alors ${\displaystyle s_{\pm }={\frac {1\pm {\sqrt {\Delta '}}}{m}}}$.

• Si ${\displaystyle {\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\leq m<-{\frac {1}{2}}}$, il n'y a pas de solution car ${\displaystyle s_{+}\leq s_{-}<-1}$.
• Si ${\displaystyle -{\frac {1}{2}}\leq m<{\frac {3}{2}}}$ (avec ${\displaystyle m\neq 0}$), seule ${\displaystyle s_{-}}$ est comprise entre ${\displaystyle -1}$ et ${\displaystyle 1}$ donc il y a en général ${\displaystyle {\pmod {2\pi }}}$ deux solutions : ${\displaystyle \alpha _{-}}$ et ${\displaystyle \pi -\alpha _{-}}$, pour ${\displaystyle \alpha _{-}\in \mathbb {R} }$ tel que ${\displaystyle \sin \alpha _{-}=s_{-}}$ (avec, dans le cas limite ${\displaystyle m=-{\frac {1}{2}}}$, seulement une solution car ${\displaystyle s_{-}=-1}$ donc ${\displaystyle \alpha _{-}\equiv \pi -\alpha _{-}\equiv -{\frac {\pi }{2}}}$).
• Si ${\displaystyle {\frac {3}{2}}\leq m\leq {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$, il y a en général ${\displaystyle {\pmod {2\pi }}}$ 4 solutions : ${\displaystyle \alpha _{+}}$, ${\displaystyle \pi -\alpha _{+}}$, ${\displaystyle \alpha _{-}}$ et ${\displaystyle \pi -\alpha _{-}}$, pour ${\displaystyle \alpha _{+},\alpha _{-}\in \mathbb {R} }$ tels que ${\displaystyle \sin \alpha _{\pm }=s_{\pm }}$ (avec, dans le cas limite ${\displaystyle m={\frac {3}{2}}}$, seulement 3 solutions car ${\displaystyle s_{+}=1}$ donc ${\displaystyle \alpha _{+}\equiv \pi -\alpha _{+}\equiv {\frac {\pi }{2}}}$, et dans le cas limite ${\displaystyle m={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$, seulement 2 solutions car ${\displaystyle s_{+}=s_{-}}$ donc ${\displaystyle \alpha _{+}\equiv \alpha _{-}}$ et ${\displaystyle \pi -\alpha _{+}\equiv \pi -\alpha _{-}}$).

3°  Si ${\displaystyle m=0}$, l'équation est ${\displaystyle \tan x={\frac {1}{3}}}$ et ses solutions sont ${\displaystyle \arctan {\frac {1}{3}}\mod \pi }$.

Si ${\displaystyle m\neq 0}$, le discriminant de l'équation ${\displaystyle mt^{2}-3t+1=0}$ est ${\displaystyle \Delta =9-4m}$ donc si ${\displaystyle m\leq {\frac {9}{4}}}$, les deux racines (ou la racine double si ${\displaystyle m={\frac {9}{4}}}$), sont ${\displaystyle t_{\pm }={\frac {3\pm {\sqrt {\Delta }}}{2m}}}$ et les solutions sont ${\displaystyle \arctan t_{+}\mod \pi }$ et ${\displaystyle \arctan t_{-}\mod \pi }$ (si ${\displaystyle m>{\frac {9}{4}}}$, il n'y a pas de solution).

4°  Le discriminant de l'équation ${\displaystyle 2t^{2}+mt-3=0}$ est ${\displaystyle \Delta =m^{2}+24}$ donc les deux racines sont ${\displaystyle t_{\pm }={\frac {-m\pm {\sqrt {\Delta }}}{4}}}$ et les solutions sont ${\displaystyle \arctan t_{+}\mod \pi }$ et ${\displaystyle \arctan t_{-}\mod \pi }$.

1°  ${\displaystyle \cos 2x+{\frac {3}{2}}\sin 2x=-m\Leftrightarrow {\frac {2}{\sqrt {13}}}\cos 2x+{\frac {3}{\sqrt {13}}}\sin 2x=-{\frac {2m}{\sqrt {13}}}}$.

Si ${\displaystyle |m|>{\frac {\sqrt {13}}{2}}}$, il n'y a pas de solution.

Si ${\displaystyle |m|\leq {\frac {\sqrt {13}}{2}}}$, soient ${\displaystyle \varphi ,\alpha \in \mathbb {R} }$ tels que ${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {2}{\sqrt {13}}}}$, ${\displaystyle \sin \varphi ={\frac {3}{\sqrt {13}}}}$ et ${\displaystyle \cos \alpha =-{\frac {2m}{\sqrt {13}}}}$.

${\displaystyle \cos(2x-\varphi )=\cos \alpha \Leftrightarrow x\equiv {\frac {\varphi }{2}}\pm {\frac {\alpha }{2}}\mod \pi }$.

2°  ${\displaystyle \cos ^{2}x=m\sin x\Leftrightarrow \sin ^{2}x+m\sin x-1=0}$.

Si ${\displaystyle m=0}$, les solutions sont ${\displaystyle \pm {\frac {\pi }{2}}{\pmod {2\pi }}}$.

Si ${\displaystyle m\neq 0}$, une seule des deux racines de l'équation ${\displaystyle s^{2}+ms-1=0}$ (dont le produit vaut ${\displaystyle -1}$) est comprise entre ${\displaystyle -1}$ et ${\displaystyle 1}$ : ${\displaystyle s={\frac {-m+{\sqrt {m^{2}+4}}}{2}}}$ si ${\displaystyle m>0}$ et ${\displaystyle s={\frac {-m-{\sqrt {m^{2}+4}}}{2}}}$ si ${\displaystyle m<0}$. Soit ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$ tel que ${\displaystyle \sin \alpha =s}$. Les solutions sont alors ${\displaystyle \alpha {\pmod {2\pi }}}$ et ${\displaystyle \pi -\alpha {\pmod {2\pi }}}$.

3°  ${\displaystyle \sin x=m\cot x\Leftrightarrow \cos \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)=m\tan \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)}$.

Le discriminant réduit est égal à ${\displaystyle (\sin a\sin b)^{2}-\sin ^{2}a-\sin ^{2}b+1=\left(1-\sin ^{2}a\right)\left(1-\sin ^{2}b\right)=\left(\cos a\cos b\right)^{2}}$.

L'équation est donc équivalente à ${\displaystyle \cos x=\sin a\sin b\pm \cos a\cos b=\pm \cos \left(a\mp b\right)}$ et ses solutions sont :

${\displaystyle x\equiv \pm (a-b){\text{ ou }}\pm (a+b+\pi )\mod 2\pi }$.

(Cf. exercice 5-4.) ${\displaystyle 1-{\frac {\sin ^{2}2x}{2}}={\frac {5}{8}}\Leftrightarrow \sin 2x=\pm {\frac {\sqrt {3}}{2}}\Leftrightarrow x\equiv \pm {\frac {\pi }{6}}\mod {\frac {\pi }{2}}}$.

Le discriminant réduit est égal à

${\displaystyle (1-\cos b\cos c)^{2}-\sin ^{2}b\sin ^{2}c=1-2\cos b\cos c+\cos ^{2}b\cos ^{2}c-(1-\cos ^{2}b)(1-\cos ^{2}c)=-2\cos b\cos c+\cos ^{2}b+\cos ^{2}c=(\cos b-\cos c)^{2}}$.

Les deux solutions sont donc :

${\displaystyle x_{\pm }={\frac {1-\cos b\cos c\pm (\cos b-\cos c)}{\sin ^{2}b}}}$,

c'est-à-dire

${\displaystyle x_{+}={\frac {1-\cos b\cos c+\cos b-\cos c}{\sin ^{2}b}}={\frac {(1+\cos b)(1-\cos c)}{\sin ^{2}b}}={\frac {\sin ^{2}{\frac {c}{2}}}{\sin ^{2}{\frac {b}{2}}}}}$ et

${\displaystyle x_{-}={\frac {1-\cos b\cos c-\cos b+\cos c}{\sin ^{2}b}}={\frac {(1-\cos b)(1+\cos c)}{\sin ^{2}b}}={\frac {\cos ^{2}{\frac {c}{2}}}{\cos ^{2}{\frac {b}{2}}}}}$.