Trigonométrie/Exercices/Résolution d'équations 2

Exercice 7-1

Résoudre les équations :

1° ${\frac {\tan x+\tan 3x}{1-\tan x\tan 3x}}={\frac {\tan 2x-\tan x}{1+\tan 2x\tan x}}$ ;

2° ${\frac {{\sqrt {3}}-\tan x}{1+{\sqrt {3}}\tan x}}={\frac {1-{\sqrt {3}}\tan 2x}{{\sqrt {3}}+\tan 2x}}$ ;

3° ${\frac {{\sqrt {3}}+\tan x}{1+{\sqrt {3}}\tan x}}={\frac {1-{\sqrt {3}}\tan 2x}{{\sqrt {3}}+\tan 2x}}$ .

Solution

1° $\tan 4x=\tan x\Leftrightarrow 4x\equiv x\mod \pi \Leftrightarrow x\equiv 0\mod {\frac {\pi }{3}}$ .

2° $\tan \left({\frac {\pi }{3}}-x\right)=\tan \left({\frac {\pi }{6}}-2x\right)\Leftrightarrow {\frac {\pi }{3}}-x\equiv {\frac {\pi }{6}}-2x\mod \pi \Leftrightarrow x\equiv -{\frac {\pi }{6}}\mod \pi$ .

3° $\tan \left({\frac {\pi }{3}}+x\right)=\tan \left({\frac {\pi }{6}}-2x\right)\Leftrightarrow {\frac {\pi }{3}}+x\equiv {\frac {\pi }{6}}-2x\mod \pi \Leftrightarrow x\equiv -{\frac {\pi }{18}}\mod {\frac {\pi }{3}}$ .

Exercice 7-2

Résoudre les équations :

1° $\sin 2x=2\cos ^{2}x$ ;

2° $\cos 2x+2\sin x\cos x=0$ ;

3° $2\sin x\cos x=\cos 3x$ ;

4° $\cos ^{2}x-\sin ^{2}x=\cos 5x$ .

Solution

1° $2\cos x\left(\sin x-\cos x\right)=0\Leftrightarrow \cos x=0{\text{ ou }}\tan x=1\Leftrightarrow x\equiv {\frac {\pi }{2}}{\text{ ou }}{\frac {\pi }{4}}\mod \pi$ .

2° $\tan 2x=-1\Leftrightarrow x\equiv -{\frac {\pi }{8}}\mod {\frac {\pi }{2}}$ .

3° ${\frac {\pi }{2}}-2x\equiv \pm 3x\mod 2\pi \Leftrightarrow x\equiv {\frac {\pi }{10}}\mod {\frac {2\pi }{5}}{\text{ ou }}x\equiv -{\frac {\pi }{2}}\mod 2\pi$ .

4° $2x\equiv \pm 5x\mod 2\pi \Leftrightarrow x\equiv 0\mod {\frac {2\pi }{3}}{\text{ ou }}\mod {\frac {2\pi }{7}}$ .

Exercice 7-3

Résoudre les équations :

1° $\sin x\tan {\frac {x}{2}}=\cos x$ ;

2° $\sin 2x=\sin 3x$ .

Solution

1°

{\frac {x}{2}}\equiv {\frac {\pi }{2}}-x\mod \pi \Leftrightarrow x\equiv {\frac {\pi }{3}}\mod {\frac {2\pi }{3}}

.

2° $2x\equiv 3x{\text{ ou }}\pi -3x\mod 2\pi \Leftrightarrow x\equiv 0\mod 2\pi {\text{ ou }}x\equiv {\frac {\pi }{5}}\mod {\frac {2\pi }{5}}$ .

Exercice 7-4

Résoudre les équations :

1° $\cos ^{2}x-2\sin x-1=0$ ;

2° $2\cos ^{2}x-\sin x-1=0$ ;

3° $2\sin ^{2}x+\cos x-1=0$ ;

4° $\cos ^{2}x-3\sin x+{\frac {3}{4}}=0$ .

Solution

Notons

c=\cos x

et

s=\sin x

.

1° $1-s^{2}-2s-1=0\Leftrightarrow s=0\Leftrightarrow x\equiv 0\mod \pi$ .

2° $2\left(1-s^{2}\right)-s-1=0\Leftrightarrow s=-1{\text{ ou }}{\frac {1}{2}}\Leftrightarrow x\equiv -{\frac {\pi }{2}}{\text{ ou }}{\frac {\pi }{6}}{\text{ ou }}{\frac {5\pi }{6}}\mod {2\pi }$ .

3° $2\left(1-c^{2}\right)+c-1=0\Leftrightarrow c=1{\text{ ou }}-{\frac {1}{2}}\Leftrightarrow x\equiv 0\mod {\frac {2\pi }{3}}$ .

4° $1-s^{2}-3s+{\frac {3}{4}}=0\Leftrightarrow s={\frac {1}{2}}\Leftrightarrow x\equiv {\frac {\pi }{6}}{\text{ ou }}{\frac {5\pi }{6}}\mod {2\pi }$ .

Exercice 7-5

Résoudre les équations :

1° $\sin x+\sin 2x=0$ ;

2° $\sin x+\sin 2x+\sin 3x=0$ ;

3° $\sin x+\sin 2x+\sin 3x=1+\cos x+\cos 2x$ ;

4° $1+\sin 4x-\cos 4x=0$ ;

5° $1+\cos x+\cos 2x+\cos 3x=0$ .

Solution

1° $\sin x\left(1+2\cos x\right)=0\Leftrightarrow \sin x=0{\text{ ou }}\cos x=-{\frac {1}{2}}\Leftrightarrow x\equiv 0\mod \pi {\text{ ou }}x\equiv \pm {\frac {2\pi }{3}}\mod 2\pi$ .

2° $\sin 2x+2\sin 2x\cos x=0\Leftrightarrow \sin 2x=0{\text{ ou }}\cos x=-{\frac {1}{2}}\Leftrightarrow x\equiv 0\mod {\frac {\pi }{2}}{\text{ ou }}x\equiv \pm {\frac {2\pi }{3}}\mod 2\pi$ .

3° $\sin 2x\left(1+2\cos x\right)=\cos x\left(1+2\cos x\right)\Leftrightarrow \sin x={\frac {1}{2}}{\text{ ou }}\cos x=0{\text{ ou }}\cos x=-{\frac {1}{2}}\Leftrightarrow x\equiv {\frac {\pi }{6}}{\text{ ou }}{\frac {5\pi }{6}}{\text{ ou }}\pm {\frac {\pi }{2}}{\text{ ou }}\pm {\frac {2\pi }{3}}\mod 2\pi$ .

4° Cf. exercice 6-4 : $\cos 4x-\sin 4x=1\Leftrightarrow -4x\equiv 0{\text{ ou }}{\frac {\pi }{2}}\mod {2\pi }\Leftrightarrow x\equiv 0{\text{ ou }}-{\frac {\pi }{8}}\mod {\frac {\pi }{2}}$ .

5° Cf. exercice 5-10 : $\cos {\frac {3x}{2}}\sin 2x=0\Leftrightarrow x\equiv {\frac {\pi }{3}}\mod {\frac {2\pi }{3}}{\text{ ou }}x\equiv 0\mod {\frac {\pi }{2}}$ .

Exercice 7-6

Résoudre les équations :

1° $\left({\sqrt {2}}+1\right)\sin ^{2}x+\left({\sqrt {2}}-1\right)\cos ^{2}x+\sin 2x={\sqrt {2}}$ ;

2° $\sin ^{2}x-2\sin x\cos x-3\cos ^{2}x=0$ ;

3° $\sin ^{2}x-\sin 2x+{\frac {1}{2}}=0$ .

Solution

1° Cf. exercice 7-2 : $\cos 2x-\sin 2x=0\Leftrightarrow x\equiv {\frac {\pi }{8}}\mod {\frac {\pi }{2}}$ .

2° $\left(\sin x+\cos x\right)\left(\sin x-3\cos x\right)=0\Leftrightarrow x\equiv -{\frac {\pi }{4}}{\text{ ou }}\arctan 3\mod \pi$ ;

3° $0={\frac {3}{2}}-\cos ^{2}x-\sin 2x={\frac {3}{2}}-{\frac {1+2\tan x}{1+\tan ^{2}x}}\Leftrightarrow \tan x=1{\text{ ou }}{\frac {1}{3}}\Leftrightarrow x\equiv {\frac {\pi }{4}}{\text{ ou }}\arctan {\frac {1}{3}}\mod \pi$ .

Exercice 7-7

Résoudre les équations :

1° $2\sin x\sin 3x=1$ ;

2° $\tan x+\tan 2x=\tan 3x$ ;

3° $\tan x-6\cot x+{\sqrt {3}}=0$ .

Solution

1° $1=\cos 2x-\cos 4x=\cos 2x-2\cos ^{2}2x+1\Leftrightarrow \cos 2x=0{\text{ ou }}{\frac {1}{2}}\Leftrightarrow x\equiv \pm {\frac {\pi }{4}}{\text{ ou }}\pm {\frac {\pi }{6}}\mod \pi$ .

2° ${\frac {\sin 3x}{\cos x\cos 2x}}=\tan 3x\Leftrightarrow \sin 3x=0{\text{ ou }}2\cos ^{2}x-1=4\cos ^{2}x-3\Leftrightarrow x\equiv 0\mod {\frac {\pi }{3}}{\text{ ou }}\mod {\frac {\pi }{2}}$ .

3° $\tan ^{2}x+{\sqrt {3}}\tan x-6=0\Leftrightarrow \tan x={\sqrt {3}}{\text{ ou }}-2{\sqrt {3}}\Leftrightarrow x\equiv {\frac {\pi }{3}}{\text{ ou }}-\arctan \left(2{\sqrt {3}}\right)\mod \pi$ .

Exercice 7-8

Résoudre les équations :

1° $\sin ^{3}x+\cos ^{3}x=1$ ;

2° $\sin ^{6}x+\cos ^{6}x={\frac {1}{4}}$ .

Solution

1° Une rapide étude de variations montre que les seules solutions sont $0{\text{ et }}{\frac {\pi }{2}}\mod 2\pi$ .

2° (Cf. exercice 5-4.) $1-3\sin ^{2}x\cos ^{2}x={\frac {1}{4}}\Leftrightarrow \sin ^{2}2x=1\Leftrightarrow x\equiv {\frac {\pi }{4}}\mod {\frac {\pi }{2}}$ .

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