On appelle filtre sur un ensemble ${\displaystyle E}$ tout ensemble non vide ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ de parties de ${\displaystyle E}$ qui vérifie :

• toute partie de ${\displaystyle E}$ incluant un élément de ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ appartient à ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ;
• toute intersection finie d'éléments de ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ appartient à ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ;
• ${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {F}}}$.

• Soit ${\displaystyle E}$ un ensemble et ${\displaystyle x}$ un élément de ${\displaystyle E}$. Alors ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}=\{A\in {\mathcal {P}}(E)\mid x\in A\}}$ est un filtre, dit filtre principal.
• Sur un espace topologique ${\displaystyle X}$, l’ensemble des voisinages d'une partie non vide quelconque de ${\displaystyle X}$ est un filtre. Dans le cas des voisinages d'un point pour la topologie discrète, on revient au cas du filtre principal.
• Si ${\displaystyle E}$ est un ensemble infini alors les complémentaires des parties finies de ${\displaystyle E}$ forment un filtre sur ${\displaystyle E}$, appelé filtre de Fréchet.

Soit ${\displaystyle E}$ un ensemble et ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ un ensemble de parties de ${\displaystyle E}$. On dit que ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ est une base de filtre si ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{A\in {\mathcal {P}}(E)\mid \exists B\in {\mathcal {B}}\quad B\subset A\}}$ est un filtre. On dit alors que ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ est le filtre engendré par ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$.

• ${\displaystyle \{\{x\}\}}$ est une base du filtre principal ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}$.
• Dans ${\displaystyle \mathbb {N} }$, ${\displaystyle \{\left[n,+\infty \right[\mid n\in \mathbb {N} \}}$ est une base du filtre de Fréchet.

Soient ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ un filtre et ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subset {\mathcal {F}}}$. Pour que ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ engendre ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, (il faut et) il suffit que tout élément de ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ contienne un élément de ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$.

Soit ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ et ${\displaystyle {\mathcal {F}}'}$ deux filtres sur un ensemble ${\displaystyle E}$. On dit que ${\displaystyle {\mathcal {F}}'}$ est plus fin (resp. strictement plus fin) que ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ si ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subset {\mathcal {F}}'}$ (resp. ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subsetneq {\mathcal {F}}'}$).

Un ultrafiltre sur un ensemble ${\displaystyle E}$ est un filtre sur ${\displaystyle E}$ maximal pour l'inclusion.

Pour tout filtre ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ sur un ensemble ${\displaystyle E}$, il existe un ultrafiltre plus fin que ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$.