Soit ${\displaystyle X}$ un espace topologique et ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ une relation d'équivalence sur ${\displaystyle X}$.

On appelle topologie quotient de la topologie de ${\displaystyle E}$ par ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ la topologie la plus fine rendant continue l’application canonique ${\displaystyle \varphi :X\rightarrow X/{\mathcal {R}}}$.

On appelle espace quotient de ${\displaystyle X}$ par ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ l’ensemble quotient ${\displaystyle X/{\mathcal {R}}}$ muni cette topologie.

• La topologie quotient sur le groupe quotient ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Q} }$ est la topologie grossière.
• Le groupe quotient ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$ est homéomorphe à un cercle.
• Le tore, le ruban de Möbius, la bouteille de Klein… peuvent être vus comme des espaces quotients.

Soit ${\displaystyle X}$ un espace topologique et ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ une relation d'équivalence sur ${\displaystyle X}$. Pour toute application ${\displaystyle f:X/{\mathcal {R}}\rightarrow Y}$ (${\displaystyle Y}$ espace topologique), ${\displaystyle f}$ est continue si et seulement si ${\displaystyle f\circ \varphi }$ l'est.