a) Nous cherchons le nombre ${\displaystyle x}$ tel que : ${\displaystyle x^{2}=7+3i}$. Notons ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$ les parties réelle et imaginaire de ${\displaystyle x}$.

${\displaystyle x=a+ib\qquad (a,b)\in \mathbb {R} ^{2}}$

Développons le carré de ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle x^{2}=a^{2}-b^{2}+2iab}$

En égalant ${\displaystyle x^{2}}$ à ${\displaystyle 7+3i}$, on obtient le système d'équations suivant: ${\displaystyle {\begin{cases}a^{2}-b^{2}=7\qquad (1)\\2ab=3\qquad (2)\end{cases}}}$

Utilisons désormais le module de ${\displaystyle x^{2}}$, qui doit être égal au module de ${\displaystyle 7+3i}$ :

${\displaystyle a^{2}+b^{2}={\sqrt {7^{2}+3^{2}}}={\sqrt {58}}\qquad (3)}$

La somme ${\displaystyle (1)+(3)}$ et la différence ${\displaystyle (1)-(3)}$ donne les deux équations suivantes :

${\displaystyle {\begin{cases}a^{2}={\dfrac {{\sqrt {58}}+7}{2}}\\b^{2}={\dfrac {{\sqrt {58}}-7}{2}}\end{cases}}}$

À partir de ce résultat, il ne manque plus que la connaissance du signe de ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$ qui est donnée par ${\displaystyle (2)}$. Ici, le produit ${\displaystyle ab}$ est positif, donc a et b sont de même signe. On en déduit les solutions ${\displaystyle x_{0}}$ et ${\displaystyle x_{1}}$ suivantes :

${\displaystyle {\begin{cases}x_{0}={\sqrt {\dfrac {{\sqrt {58}}+7}{2}}}+i{\sqrt {\dfrac {{\sqrt {58}}-7}{2}}}\\x_{1}=-{\sqrt {\dfrac {{\sqrt {58}}+7}{2}}}-i{\sqrt {\dfrac {{\sqrt {58}}-7}{2}}}\end{cases}}}$

b) Comme précédemment, nous allons poser ${\displaystyle x=a+ib}$ tels que ${\displaystyle (a,b)\in \mathbb {R} }$ et voir à quelles conditions l'égalité ${\displaystyle x^{2}=2-5i}$ est vérifiée.

${\displaystyle x^{2}=2-5i\Leftrightarrow {\begin{cases}a^{2}-b^{2}=2\\2ab=-5\\a^{2}+b^{2}={\sqrt {2^{2}+5^{2}}}={\sqrt {29}}\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}a^{2}={\dfrac {{\sqrt {29}}+2}{2}}\\b^{2}={\dfrac {{\sqrt {29}}-2}{2}}\\2ab=-5\\\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}x_{0}={\sqrt {\dfrac {{\sqrt {29}}+2}{2}}}-i{\sqrt {\dfrac {{\sqrt {29}}-2}{2}}}\\x_{1}=-{\sqrt {\dfrac {{\sqrt {29}}+2}{2}}}+i{\sqrt {\dfrac {{\sqrt {29}}-2}{2}}}\\\end{cases}}}$

Nous obtenons les deux racines présentées ci-dessus comme ${\displaystyle x_{0}}$ et ${\displaystyle x_{1}}$

c) Pour cet exemple, on pourrait procéder comme précédemment, mais il est plus pertinent dans ce cas d'être astucieux et de reconnaître l'écriture exponentielle du nombre ${\displaystyle 1+i}$ :

${\displaystyle 1+i={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(\cos \left({\dfrac {\pi }{4}}\right)+i\sin \left({\dfrac {\pi }{4}}\right)\right)=e^{i{\frac {\pi }{4}}}}$

On peut donc trouver les racines de ce nombre sous la forme ${\displaystyle x=re^{i\theta }}$ tel que ${\displaystyle (r,\theta )\in \mathbb {R} _{+}\times [0;2\pi [}$ :

${\displaystyle x^{2}=1+i\Leftrightarrow r^{2}e^{2i\theta }={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}e^{i{\frac {\pi }{4}}}\Leftrightarrow {\begin{cases}r=2^{\frac {1}{4}}\\\theta ={\dfrac {\pi }{8}}[\pi ]\end{cases}}}$

Les deux racines de ${\displaystyle 1+i}$ sont donc ${\displaystyle x_{0}=2^{\frac {1}{4}}e^{i{\frac {\pi }{8}}}}$ et ${\displaystyle x_{1}=2^{\frac {1}{4}}e^{i{\frac {9\pi }{8}}}}$