Dans ce chapitre, quelque peu trivial, nous allons voir essentiellement que si G est un groupe fini, si D(G) désigne le dérivé de G, si on connaît une décomposition du groupe abélien G/D(G) en produit direct de groupes cycliques (dans le cas où G est abélien, connaître une décomposition de G/D(G) en produit direct de groupes cycliques revient évidemment à connaître une telle décomposition de G), on peut expliciter facilement les homomorphismes de G dans le groupe multiplicatif ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$ du corps des nombres complexes. Cela nous servira dans un chapitre ultérieur sur les caractères complexes des groupes finis.

Énoncé 1

Soient G un groupe et A un groupe abélien, notés multiplicativement, soient f et g deux homomorphismes de G dans A. L'application ${\displaystyle f\star g:x\to f(x)g(x)}$ (produit de f et g « point par point ») est un homomorphisme de G dans A.

Démonstration (triviale). Soient x, y des éléments de G. Nous avons

${\displaystyle (f\star g)(xy)=f(xy)g(xy),}$

d'où, puisque f et g sont des homomorphismes,

${\displaystyle (f\star g)(xy)=f(x)f(y)g(x)g(y).}$

Puisque le groupe d'arrivée est commutatif, cela peut s'écrire

${\displaystyle (f\star g)(xy)=f(x)g(x)f(y)g(y),}$

autrement dit

${\displaystyle (f\star g)(xy)=(f\star g)(x)(f\star g)(y),}$

ce qui prouve que ${\displaystyle f\star g}$ est un homomorphisme de G dans A.

Énoncé 2

Soient G un groupe et A un groupe abélien. L'ensemble Hom(G, A) des homomorphismes de G dans A, muni de la loi de composition définie point par point à partir de celle de A, est un groupe abélien dont l'élément neutre est l'homomorphisme trivial (constant de valeur neutre).

Démonstration (triviale). Notons G et A multiplicativement et notons ${\displaystyle \star }$ la loi de composition définie point par point dans Hom(G, A) à partir de celle de A.
Soient f, g, h des éléments de Hom(G, A), soit x un élément de G. Alors ${\displaystyle (f\star g)\star h}$ applique x sur ${\displaystyle (f\star g)(x)h(x)=f(x)g(x)h(x)=f(x)(g\star h)(x)=(f\star (g\star h))(x),}$ donc ${\displaystyle (f\star g)\star h=f\star (g\star h),}$, ce qui prouve que la loi ${\displaystyle \star }$ est associative.
Comme A est abélien, nous avons ${\displaystyle (f\star g)(x)=f(x)g(x)=g(x)f(x)=(g\star f)(x),}$ donc ${\displaystyle f\star g=g\star f,}$ ce qui prouve que la loi ${\displaystyle \star }$ est commutative.
Si e désigne l'homomorphisme trivial (constant de valeur 1) de G dans A, alors pour tout homomorphisme f de G dans A et pour tout élément x de G,

${\displaystyle (f\star e)(x)=f(x)e(x)=f(x)1=f(x),}$ donc ${\displaystyle f\star e=f}$ et, de même, ${\displaystyle e\star f=f}$, donc e est neutre pour la loi ${\displaystyle \star }$.

Si f est un élément de Hom(G, A), l'application ${\displaystyle {\check {f}}:x\to f(x)^{-1}}$ est elle aussi un élément de Hom(G, A), car, pour tous x, y dans G,

${\displaystyle {\check {f}}(xy)=f(xy)^{-1}=(f(x)f(y))^{-1}=f(y)^{-1}f(x)^{-1}={\check {f}}(y){\check {f}}(x)={\check {f}}(x){\check {f}}(y)}$ puisque A est abélien.

De plus, nous avons, pour tout x dans G,

${\displaystyle (f\star {\check {f}})(x)=f(x){\check {f}}(x)=f(x)f(x)^{-1}=1,}$

donc ${\displaystyle f\star {\check {f}}=e}$, ce qui prouve que pour tout élément f de Hom(G, A), ${\displaystyle {\check {f}}}$ est l'inverse de f pour la loi ${\displaystyle \star }$.

Quand nous parlerons du groupe Hom(G, A) (pour un groupe G et un groupe abélien A), il s'agira de la structure de groupe abélien qu'on vient de définir sur l'ensemble Hom(G, A).

Énoncé 3

Soit A un groupe abélien, noté multiplicativement, soit n un nombre naturel. Les éléments a de A tels que ${\displaystyle a^{n}=1}$ forment un sous-groupe de A.

Démonstration. On peut dire par exemple qu'en raison de la commutativité de A, la transformation ${\displaystyle x\to x^{n}}$ de A est un endomorphisme. L'ensemble des éléments a de A tels que ${\displaystyle a^{n}=1}$ est le noyau de cet endomorphisme et est donc un sous-groupe de A.

Pour un groupe abélien G et un nombre naturel n, on notera ${\displaystyle G_{[n]}}$ le sous-groupe de G formé par les éléments x de G tels que (en notation multiplicative) ${\displaystyle x^{n}=1}$.

Énoncé 4

Soit G un groupe cyclique d'ordre n, soit A un groupe abélien. Les groupes Hom(G, A) et ${\displaystyle A_{[n]}}$ sont isomorphes.
Plus précisément, si g est un générateur du groupe cyclique G, si ${\displaystyle \varphi _{g}}$ désigne l'application de ${\displaystyle A_{[n]}}$ dans ${\displaystyle \mathrm {Hom} (G,A)}$ qui à tout élément h de ${\displaystyle A_{[n]}}$ fait correspondre l'unique homomorphisme de G dans H qui applique g sur h, ${\displaystyle \varphi _{g}}$ est un isomorphisme du groupe ${\displaystyle A_{[n]}}$ sur le groupe ${\displaystyle \mathrm {Hom} (G,A)}$.

Démonstration. On notera G et A multiplicativement. Comme dans l'énoncé, soit g un générateur de G, c'est-à-dire un élément d'ordre n de G.
Pour alléger les notations, on écrira ${\displaystyle \varphi }$ au lieu de ${\displaystyle \varphi _{g}}$.
Soit h un élément de ${\displaystyle A_{[n]}}$. Alors h est un élément de A tel que ${\displaystyle h^{n}=1}$, donc, d'après le chapitre Groupes monogènes, ordre d'un élément, il existe un et un seul homomorphisme de G dans A qui applique g sur h.
Considérons l'application

${\displaystyle \varphi :A_{[n]}\rightarrow \mathrm {Hom} (G,A)}$

qui à tout élément h de ${\displaystyle A_{[n]}}$ fait correspondre l'homomorphisme de G dans H qui applique g sur h. (Donc ${\displaystyle \varphi }$ dépend de g.)
Prouvons que ${\displaystyle \varphi }$ est un homomorphisme de groupes de ${\displaystyle A_{[n]}}$ dans Hom(G, A).
Si h, h' sont deux éléments de ${\displaystyle A_{[n]}}$, ${\displaystyle \varphi (hh')}$ est l'unique homomorphisme de G dans H qui applique g sur h h'. Or ${\displaystyle \varphi (h)\star \varphi (h')}$ (où ${\displaystyle \star }$ désigne la loi de groupe de Hom(G, A)) applique G sur h h', donc (unicité) ${\displaystyle \varphi (hh')=\varphi (h)\star \varphi (h')}$, ce qui montre bien que ${\displaystyle \varphi }$ est un homomorphisme de groupes de ${\displaystyle A_{[n]}}$ dans Hom(G, A).
Si f est un homomorphisme de G dans A, alors, puisque G est d'ordre n, f prend ses valeurs dans ${\displaystyle A_{[n]}}$. Nous pouvons donc considérer l'application

${\displaystyle \psi$ :\mathrm {Hom} (G,A)\rightarrow A_{[n]}:f\mapsto f(g).}

(L'application ${\displaystyle \psi }$ dépend de g.)
Pour tout élément h de ${\displaystyle A_{[n]}}$, ${\displaystyle (\psi \circ \varphi )(h)}$ est égal à ${\displaystyle \psi (\varphi (h))}$ et est donc la valeur de ${\displaystyle \phi (h)}$ en g. Par définition de ${\displaystyle \phi }$, la valeur de ${\displaystyle \phi (h)}$ en g est h, donc ${\displaystyle (\psi \circ \varphi )(h)=h}$, donc

(1) ${\displaystyle \psi \circ \varphi }$ est la transformation identique de ${\displaystyle A_{[n]}.}$

D'autre part, pour tout f dans Hom(G, A), nous avons

${\displaystyle (\varphi \circ \psi )(f)=\varphi (\psi )(f))}$,

d'où, par définition de ${\displaystyle \psi }$,

(2) ${\displaystyle (\varphi \circ \psi )(f)=\varphi (f(g)).}$

Par définition de ${\displaystyle \varphi }$, ${\displaystyle \varphi (f(g))}$ est l'unique homomorphisme de G dans A qui applique g sur f(g) et cet unique homomorphisme est évidemment f. Donc la relation (2) peut s'écrire

${\displaystyle (\varphi \circ \psi )(f)=f,}$

donc ${\displaystyle \varphi \circ \psi }$ est la transformation identique de Hom(G, A).
Joint à (1), cela montre que les applications ${\displaystyle \varphi }$ et ${\displaystyle \psi }$ sont des bijections réciproques l'une de l'autre, donc l'homomorphisme ${\displaystyle \varphi }$ est un isomorphisme de ${\displaystyle A_{[n]}}$ sur Hom(G, A).

Notation. On notera ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$ le groupe multiplicatif du corps ${\displaystyle \mathbb {C} }$, c'est-à-dire le groupe obtenu en munissant l'ensemble des nombres complexes non nuls de la multiplication ordinaire dans ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

Énoncé 5

Soient G un groupe et A un groupe abélien; on suppose que G est produit direct

${\displaystyle G=G_{1}\times \cdots \times G_{r}}$

de ses sous-groupes ${\displaystyle G_{1},\ldots ,G_{r}}$. (Cela revient à dire que G est somme restreinte interne de ${\displaystyle G_{1},\ldots ,G_{r}}$.)
Alors Hom(G, A) est isomorphe au produit direct (qui, dans ce cas, est aussi la somme directe externe) des groupes ${\displaystyle \mathrm {Hom} (G_{1},A),\ldots ,\mathrm {Hom} (G_{r},A)}$.
Plus précisément, si pour tout f dans Hom(G, A) et tout i dans {1, ... , r}, on désigne par ${\displaystyle f_{i}}$ la restriction de f à G_i (autrement dit ${\displaystyle f_{i}}$ est le composé

${\displaystyle G_{i}{\stackrel {incl_{i}}{\rightarrow }}G{\stackrel {f}{\rightarrow }}A}$,

où ${\displaystyle incl_{i}}$ désigne la i-ième inclusion ${\displaystyle G_{i}\rightarrow G:x\to x}$), alors l'application

${\displaystyle \varphi$ :\mathrm {Hom} (G,A)\rightarrow \mathrm {Hom} (G_{1},A)\times \mathrm {Hom} (G_{r},A):f\to (f_{1},\ldots f_{r})}

est un isomorphisme de ${\displaystyle \mathrm {Hom} (G,A)}$ sur la somme directe externe ${\displaystyle \mathrm {Hom} (G_{1},A)\times \mathrm {Hom} (G_{r},A)}$.
L'isomorphisme réciproque de ${\displaystyle \varphi }$ est l'isomorphisme

${\displaystyle \psi$ :\mathrm {Hom} (G_{1},A)\times \mathrm {Hom} (G_{r},A)\rightarrow \mathrm {Hom} (G,A)}

qui applique l'élément ${\displaystyle (f_{1},\ldots f_{r})}$ de ${\displaystyle \mathrm {Hom} (G_{1},A)\times \mathrm {Hom} (G_{r},A)}$ sur l'unique homomorphisme f de G dans A qui, pour tout i, coïncide avec ${\displaystyle f_{i}}$ sur ${\displaystyle G_{i}}$. (Cet homomorphisme f est tel que, pour tous ${\displaystyle x_{1}\in G_{1},\ldots x_{r}\in G_{r}}$, on ait

${\displaystyle f(x_{1}\cdots x_{r})=f_{1}(x_{1})\cdots f_{r}(x_{r})}$.)

Démonstration. Prouvons d'abord que ${\displaystyle \varphi }$ est un homomorphisme.
On notera le produit dans ${\displaystyle \mathrm {Hom} (G,A)}$ et dans les ${\displaystyle \mathrm {Hom} (G_{i},A)}$ par juxtaposition.
Si f et g sont des éléments de ${\displaystyle \mathrm {Hom} (G,A)}$,

${\displaystyle \varphi (fg)}$ est le r-uplet ${\displaystyle ((fg)_{1},\ldots (fg)_{r})}$.

Pour tout i, ${\displaystyle (fg)_{i}=f_{i}g_{i}}$, donc le dernier résultat s'écrit

${\displaystyle \varphi (fg)=(f_{1}g_{1},\ldots f_{r}g_{r})}$,

d'où, par définition de la loi de composition dans la somme directe externe,

${\displaystyle \varphi (fg)=(f_{1},\ldots f_{r})(g_{1},\ldots g_{r})}$,

${\displaystyle \varphi (fg)=\varphi (f)\varphi (g)}$,

ce qui prouve que ${\displaystyle \varphi }$ est un homomorphisme de ${\displaystyle \mathrm {Hom} (G,A)}$ sur la somme directe externe ${\displaystyle \mathrm {Hom} (G_{1},A)\times \mathrm {Hom} (G_{r},A)}$.
Prouvons maintenant que cet homomorphisme est bijectif.
Il s'agit de prouver que si ${\displaystyle (f_{i})_{1\leq i\leq r}}$ est un r-uplet tel que, pour tout i, ${\displaystyle f_{i}}$ soit un homomorphisme de ${\displaystyle G_{i}}$ dans ${\displaystyle A}$, il existe un et un seul homomorphisme f de G dans A qui, pour tout i coïncide avec f_i dans G. Cela résulte de la « propriété universelle de la somme restreinte » démontrée au chapitre Produit de groupes. (On peut préciser que si un élément x de G se décompose en ${\displaystyle x_{1}\cdots x_{r}}$ avec ${\displaystyle x_{i}\in G_{i}}$ pour tout i, alors f applique x sur ${\displaystyle f_{1}(x_{1})\cdots f_{r}(x_{r})}$.)
Donc ${\displaystyle \varphi }$ est un isomorphisme.
La caractérisation de l'isomorphisme réciproque ${\displaystyle \psi }$ résulte immédiatement du fait que, pour

${\displaystyle (f_{1},\ldots f_{r})\in \mathrm {Hom} (G_{1},A)\times \mathrm {Hom} (G_{r},A)}$,

l'homomorphisme ${\displaystyle f=\psi (f_{1},\ldots f_{r})}$ doit, pour chaque i, coïncider avec f_i dans G_i.

Énoncé 6

Soit n un nombre naturel non nul. Les racines n-ièmes de l'unité dans ${\displaystyle \mathbb {C} }$ forment un sous-groupe cyclique d'ordre n du groupe ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$.

Démonstration. Une racine n-ième de l'unité est de valeur absolue 1, donc est de la forme ${\displaystyle e^{\theta i}=\cos \theta +i\sin \theta }$ pour un certain nombre réel ${\displaystyle \theta }$ (avec ${\displaystyle i^{2}=-1}$).
Dire qu'un tel nombre est racine n-ième de l'unité revient à dire que ${\displaystyle e^{n\theta i}=1}$, autrement dit ${\displaystyle \cos n\theta +i\sin n\theta =1}$, ce qui a lieu si et seulement si ${\displaystyle n\theta }$ est de la forme ${\displaystyle 2k\pi }$ avec ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$. Donc les racines n-ièmes de l'unité sont les nombres ${\displaystyle e^{{\frac {2k\pi }{n}}i}}$.
Pour deux entiers rationnels k, k', nous avons ${\displaystyle e^{{\frac {2k\pi }{n}}i}=e^{{\frac {2k'\pi }{n}}i}}$ si et seulement ${\displaystyle k\equiv k'\mod {n}}$, donc les racines de l'unité sont les n nombres distincts ${\displaystyle e^{{\frac {2k\pi }{n}}i}}$, où k parcourt 0, 1, ... , n-1. Elles forment donc un sous-groupe d'ordre n de ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$, engendré par l'élément ${\displaystyle e^{{\frac {2\pi }{n}}i}}$, ce qui prouve l'énoncé.

Remarque. Le fait que les racines n-ièmes de l'unité dans ${\displaystyle \mathbb {C} }$ soient en nombre n exactement peut aussi se déduire des deux faits suivants : 1° le ploynôme ${\displaystyle X^{n}-1}$ se décompose en facteurs linéaires dans ${\displaystyle \mathbb {C} [X]}$ (« théorème fondamental de l'algèbre » ; 2° le polynôme ${\displaystyle X^{n}-1}$, ayant ${\displaystyle nX^{n-1}}$ pour dérivé, n'a clairement pas de racine double. Dès lors, le fait que les racines n-ièmes de l'unité dans ${\displaystyle \mathbb {C} }$ forment un groupe cyclique peut se déduire du théorème selon lequel tout sous-groupe fini du groupe multiplicatif d'un corps commutatif est cyclique (chapitre Automorphismes d'un groupe cyclique).

Notation. Pour un groupe G, on notera ${\displaystyle G^{\star }}$ le groupe ${\displaystyle \mathrm {Hom} (G,\mathbb {C} ^{\times })}$.

Énoncé 7

Soit G un groupe abélien fini, soit ${\displaystyle G=<a_{1}>\times \cdots <a_{r}>}$ une décomposition de G en somme directe (interne) de sous-groupes cycliques. (D'après le chapitre /Groupes commutatifs finis, 1, il existe de telles décompositions de G.)
Pour tout ${\displaystyle i\in \{1,...,r\}}$, soit ${\displaystyle n_{i}}$ l'ordre du sous-groupe ${\displaystyle <a_{i}>}$ de G, autrement dit l'ordre de ${\displaystyle a_{i}}$.
1° Pour tout r-uplet ${\displaystyle (b_{1},\ldots ,b_{r})\in \mathbb {C} _{[n_{1}]}^{\times }\times \cdots \times \mathbb {C} _{[n_{r}]}^{\times }}$, il existe un et un seul homomorphisme ${\displaystyle f_{b_{1},\ldots b_{r}}}$ de ${\displaystyle G}$ dans ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$ tel que, pour tout i,

${\displaystyle f_{b_{1},\ldots b_{r}}(a_{i})=b_{i}.}$

(L'homomorphisme ${\displaystyle f_{b_{1},\ldots b_{r}}}$ dépend de ${\displaystyle a_{1},\ldots a_{r}}$, ce que la notation ${\displaystyle f_{b_{1},\ldots b_{r}}}$ laisse implicite.)
2° L'application ${\displaystyle (b_{1},\ldots b_{r})\to f_{b_{1},\ldots b_{r}}}$ est un isomorphisme du groupe ${\displaystyle \mathbb {C} _{[n_{1}]}^{\times }\times \cdots \times \mathbb {C} _{[n_{r}]}^{\times }}$ sur le groupe ${\displaystyle G^{\star }=\mathrm {Hom} (G,\mathbb {C} ^{\times })}$.
3° Le groupe ${\displaystyle G^{\star }}$ est isomorphe à G.

Démonstration. Pour un élément b de ${\displaystyle \mathbb {C} _{[n_{i}]}^{\times }}$, désignons par ${\displaystyle h_{i,b}}$ l'unique homomorphisme de ${\displaystyle <a_{i}>}$ dans ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$ qui applique a_i sur b. (On a rappelé l'existence de ${\displaystyle h_{i,b}}$ dans la démonstration de l'énoncé 4.)
D'après l'énoncé 4, ${\displaystyle b\to >h_{i,b}}$ définit un isomorphisme de ${\displaystyle \mathbb {C} _{[n_{i}]}^{\times }}$ sur ${\displaystyle \mathrm {Hom} (<a_{i}>,\mathbb {C} ^{\times })=<a_{i}>^{\star }}$.
Donc (chapitre Produit de groupes)

${\displaystyle (b_{1},\ldots ,b_{r})\to (h_{1,b_{1}},\ldots ,h_{r,b_{r}})}$

définit un isomorphisme ${\displaystyle \lambda }$ de ${\displaystyle \mathbb {C} _{[n_{1}]}^{\times }\times \cdots \times \mathbb {C} _{[n_{r}]}^{\times }}$ sur ${\displaystyle <a_{1}>^{\star }\cdots <a_{r}>^{\star }}$.
D'autre part, d'après l'énoncé 5, il existe un (et un seul) isomorphisme

${\displaystyle \psi$ :<a_{1}>^{\star }\cdots <a_{r}>^{\star }\rightarrow \mathrm {Hom} (G,\mathbb {C} ^{\star })}

tel que, pour tout ${\displaystyle (f_{1},\ldots f_{r})\in <a_{1}>^{\star }\cdots <a_{r}>^{\star }}$,

${\displaystyle \psi (f_{1},\ldots f_{r})}$ soit l'unique homomorphisme de G dans ${\displaystyle \mathrm {C} ^{\times }}$ qui, pour tout i, coïncide avec ${\displaystyle f_{i}}$ sur ${\displaystyle <a_{i}>^{\star }}$.

Alors ${\displaystyle \psi \circ \lambda }$ est un isomorphisme de ${\displaystyle \mathbb {C} _{[n_{1}]}^{\times }\times \cdots \times \mathbb {C} _{[n_{r}]}^{\times }}$ sur ${\displaystyle G^{\star }}$ tel que, pour tout élément ${\displaystyle (b_{1},\ldots ,b_{r})}$ de ${\displaystyle \mathbb {C} _{[n_{1}]}^{\times }\times \cdots \times \mathbb {C} _{[n_{r}]}^{\times }}$,

${\displaystyle \psi \circ \lambda (b_{1},\ldots ,b_{r})}$ soit l'unique homomorphisme de G dans ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\star }}$ qui, pour tout i, coïncide avec ${\displaystyle h_{,b_{i}}}$ sur ${\displaystyle <a_{i}>^{\star }}$.

Mais l'unique homomorphisme de G dans ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\star }}$ qui, pour tout i, coïncide avec ${\displaystyle h_{,b_{i}}}$ sur ${\displaystyle <a_{i}>^{\star }}$ est l'unique homomorphisme de G dans ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\star }}$ qui, pour tout i, applique a_i sur b_i. Nous avons donc prouvé que
(1) pour tout élément ${\displaystyle (b_{1},\ldots ,b_{r})}$ de ${\displaystyle \mathbb {C} _{[n_{1}]}^{\times }\times \cdots \times \mathbb {C} _{[n_{r}]}^{\times }}$, il existe un et un seul homomorphisme ${\displaystyle f_{b_{1},\ldots b_{r}}}$ de ${\displaystyle G}$ dans ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$ tel que, pour tout i,

${\displaystyle f_{b_{1},\ldots b_{r}}(a_{i})=b_{i}}$ ;

(2) ${\displaystyle \psi \circ \lambda }$ est un isomorphisme de ${\displaystyle \mathbb {C} _{[n_{1}]}^{\times }\times \cdots \times \mathbb {C} _{[n_{r}]}^{\times }}$ sur ${\displaystyle G^{\star }}$ qui applique l'élément ${\displaystyle (b_{1},\ldots ,b_{r})}$ de ${\displaystyle \mathbb {C} _{[n_{1}]}^{\times }\times \cdots \times \mathbb {C} _{[n_{r}]}^{\times }}$ sur ${\displaystyle f_{b_{1},\ldots b_{r}}}$.
Cela démontre les deux premières assertions de l'énoncé.
Nous avons vu que ${\displaystyle \psi }$ est un isomorphisme du produit externe ${\displaystyle <a_{1}>^{\star }\cdots <a_{r}>^{\star }}$ sur ${\displaystyle G^{\star }}$ ; retenons que

(3) ${\displaystyle G^{\star }}$ est isomorphe à ${\displaystyle <a_{1}>^{\star }\cdots <a_{r}>^{\star }}$.

D'autre part, en faisant ${\displaystyle A=\mathbb {C} ^{\times }}$ dans l'énoncé 4 et en tenant compte de l'énoncé 6, nous trouvons que ${\displaystyle <a_{i}>^{\star }}$ est un groupe cyclique d'ordre ${\displaystyle n_{i}}$, donc

(4) ${\displaystyle \qquad <a_{i}>^{\star }}$ est isomorphe à ${\displaystyle a_{i}}$.

D'après le chapitre Produit de groupes, il résulte de (4) que ${\displaystyle <a_{1}>^{\star }\times <a_{r}>^{\star }}$ est isomorphe à la somme directe externe ${\displaystyle <a_{1}>\times <a_{r}>}$. Comme G est lui-même isomorphe à cette somme directe externe, il résulte de (1) que ${\displaystyle G^{\star }}$ est isomorphe à G, ce qui achève la démonstration.

Remarques.
1° L'isomorphisme de G sur G* fourni par l'énoncé 7 dépend d'une décomposition de G en somme directe de sous-groupes cycliques et du choix d'un générateur dans chacun de ces groupes cycliques. L'énoncé 7 ne fournit donc pas un isomorphisme « canonique » de G sur G*.
2° Si G est un groupe abélien fini, G* en est un lui aussi (par exemple parce qu'on vient de voir que G* est isomorphe à G). Nous pouvons donc remplacer G par G* dans la partie de l'énoncé 7 selon laquelle G* est isomorphe à G. Nous trouvons ainsi que G** est isomorphe à G. On verra même dans les exercices qu'on peut définir un isomorphisme « canonique » de G sur G**.
3° L'énoncé 7 montre en particulier que si G est un groupe abélien fini, on peut expliciter les homomorphismes de G dans ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\star }}$ de la façon suivante : on choisit une décomposition ${\displaystyle <a_{1}>\times <a_{r}>}$ de G en somme directe (interne) de sous-groupes cycliques ; ${\displaystyle n_{i}}$ désignant, pour tout i, l'ordre de ${\displaystyle a_{i}}$, on fait parcourir par ${\displaystyle (b_{1},\ldots b_{r})}$ les r-uplets formant l'ensemble ${\displaystyle \mathbb {C} _{[n_{1}]}^{\times }\times \cdots \times \mathbb {C} _{[n_{r}]}^{\times }}$ ; à chacun de ces r-uplets, il correspond un unique homomorphisme de G dans ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\star }}$ qui applique ${\displaystyle a_{1}}$ sur ${\displaystyle b_{1}}$, ... , ${\displaystyle a_{r}}$ sur ${\displaystyle b_{r}}$ ; deux de ces r-uplets fournissent des homomorphismes distincts et on obtient ainsi tous les homomorphismes de G dans ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\star }}$. C'est cette partie (assez pauvre et, en somme, triviale) de l'énoncé 7 que nous utiliserons dans un chapitre sur les caractères complexes des groupes finis.
4° Soient G un groupe (non forcément abélien) et A un groupe abélien, soit ${\displaystyle \pi }$ l'homomorphisme canonique de G sur G/D(G) ; nous avons vu au chapitre Commutateurs, groupe dérivé que ${\displaystyle g\to g\circ \pi }$ définit une bijection de Hom(G/D(G), A) sur Hom(G, A). En particulier, si G est un groupe fini (non forcément abélien), ${\displaystyle g\to g\circ \pi }$ définit une bijection de ${\displaystyle \mathrm {Hom} (G/D(G),\mathbb {C} ^{\times })}$ sur ${\displaystyle \mathrm {Hom} (G,\mathbb {C} ^{\times })}$. Joint à la remarque précédente, cela permet de déterminer les homomorphismes de G dans ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$ à partir d'une décomposition du groupe abélien G/D(G) en somme directe de sous-groupes cycliques.