On prouve par récurrence sur n que pour tout nombre naturel n, ${\displaystyle f^{n}(v_{1})=v_{1}+nv_{2}}$ et ${\displaystyle f^{n}(v_{2})=v_{2}}$. En faisant n = p et en tenant compte que F est de caractéristique p, on trouve que ${\displaystyle f^{p}=id_{V}}$, ce qui prouve à la fois que f est un automorphisme (admettant ${\displaystyle f^{p-1}}$ pour réciproque) et que son ordre dans GL(V) est égal à p (car cet ordre est distinct de 1). Pour prouver que f est un automorphisme, il n'était évidemment pas nécessaire d'utiliser l'hypothèse selon laquelle F est de caractéristique non nulle, car l'endomorphisme de V qui applique ${\displaystyle v_{1}}$ sur ${\displaystyle v_{1}-v_{2}}$ et qui laisse ${\displaystyle v_{2}}$ fixe est de toute façon réciproque de f. On pourrait aussi se contenter de noter que le déterminant de la matrice de f dans la base ${\displaystyle (v_{1},v_{2})}$ est non nul.

Puisque ${\displaystyle v_{2}}$ est point fixe de f et que G est engendré par f, ${\displaystyle Fv_{2}}$ est invariant par G. Le lecteur vérifiera facilement que pour démontrer l'énoncé b), il suffit de prouver que ${\displaystyle Fv_{2}}$ est le seul sous-espace de dimension 1 de V qui soit invariant par G.
Soit donc ${\displaystyle Fv}$, avec ${\displaystyle v\in V\setminus \{0\}}$, un sous-espace de dimension 1 de V, invariant par G. Il s'agit de prouver que

(thèse 1) ${\displaystyle \qquad Fv=Fv_{2}.}$

Soit

(2) ${\displaystyle \qquad v=av_{1}+bv_{2}}$

la décomposition de v dans la base ${\displaystyle (v_{1},v_{2})}$ de V.
Puisque ${\displaystyle Fv}$ est supposé invariant par G = <f>, il existe un scalaire c, évidemment non nul, tel que f(v) = cv, ce qui, d'après (2), peut s'écrire

${\displaystyle f(av_{1}+bv_{2})=cav_{1}+cbv_{2}.}$

D'après la définition de f, ceci revient à

${\displaystyle av_{1}+av_{2}+bv_{2}=cav_{1}+cbv_{2},}$

d'où, puisque ${\displaystyle (v_{1},v_{2})}$ est une base de V,

(3) ${\displaystyle \qquad a=ca}$

et

(4) ${\displaystyle \qquad a+b=cb.}$

Si c est distinct de 1, (3) donne a = 0; si maintenant c est égal à 1, (4) donne encore a = 0. Donc a est nul dans chaque cas, donc (2) donne ${\displaystyle v=bv_{2}}$. Puisque v est non nul, on a donc ${\displaystyle Fv=Fv_{2},}$ ce qui est la thèse (1).

Choisissons un F-espace vectoriel V de dimension 2 et une base ${\displaystyle (v_{1},v_{2})}$ de V. Les automorphismes de V qui fixent ${\displaystyle v_{2}}$ forment clairement un sous-groupe de GL(V). Désignons par G ce sous-groupe de GL(V). Les éléments de G sont en correspondance biunivoque avec les matrices de la forme

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&0\\b&1\\\end{pmatrix}}}$

où a parcourt ${\displaystyle F\setminus \{0\}}$ et où b parcourt F. Puisque F est infini, ces matrices sont en quantité infinie, donc G est infini. D'après la définition de G,

(1) le sous-espace ${\displaystyle Fv_{2}}$ de V est invariant par G.

Prouvons que le seul sous-espace de dimension 1 de V qui soit invariant par G est ${\displaystyle Fv_{2}}$. Désignons par f l'endomorphisme de V qui applique ${\displaystyle v_{1}}$ sur ${\displaystyle v_{1}+v_{2}}$ et qui fixe ${\displaystyle v_{2}}$. C'est un automorphisme de V, par exemple parce qu'il admet pour réciproque l'endomorphisme de V qui applique ${\displaystyle v_{1}}$ sur ${\displaystyle v_{1}-v_{2}}$ et qui fixe ${\displaystyle v_{2}}$. De plus, f appartient à V. Comme dans la solution du problème 1, on montrera que le seul sous-espace de dimension 1 de V qui soit invariant par f est ${\displaystyle Fv_{2}}$. Puisque f appartient à G, un sous-espace de dimension 1 de V invariant par G doit donc être égal à ${\displaystyle Fv_{2}}$. Joint à (1), cela montre que, comme annoncé, le seul sous-espace de dimension 1 de V qui soit invariant par G est ${\displaystyle Fv_{2}}$. Comme dans la solution du problème 1, on en tire que V et G répondent à la question.

Choisissons un élément a non nul de V. Le sous-espace W de V engendré par les g(a), où g parcourt G, est invariant par G et non nul, donc, puisque V est supposé irréductible pour G, W est égal à G tout entier. Donc les g(a), où g parcourt G, forment une partie génératrice de V. Comme le cardinal de cette partie génératrice est ${\displaystyle \leq \vert G\vert }$, on a donc ${\displaystyle \mathrm {dim} (V)\leq \vert G\vert .}$