On notera ${\displaystyle f}$ l'homomorphisme

${\displaystyle ((i_{1},g_{1}),\ldots ,(i_{n},g_{n}))\mapsto g_{1}\cdots g_{n}}$

de ${\displaystyle {\underset {i\in I}{*}}G_{i}}$ dans G (voir dans le chapitre théorique les préliminaires à la définition du produit libre interne).
Supposons d'abord que

(hyp 1) G est le produit libre interne de la famille ${\displaystyle (G_{i})_{i\in I}}$,

ce qui revient à dire que ${\displaystyle f}$ est bijectif, et prouvons que les conditions 1° et 2° de l'énoncé sont satisfaites.
Prouvons que la condition 1° est satisfaite, c'est-à-dire que les ${\displaystyle G_{i}}$ se coupent trivialement deux à deux. Soient ${\displaystyle j}$ et ${\displaystyle k}$ des éléments de I tels que ${\displaystyle G_{j}\cap G_{k}}$ comprenne un élément ${\displaystyle g\not =1}$; il s'agit de prouver que ${\displaystyle j}$ et ${\displaystyle k}$ sont égaux. Les éléments ((j, g)) et ((k,g)) de ${\displaystyle {\underset {i\in I}{*}}G_{i}}$ ont la même image ${\displaystyle g}$ par ${\displaystyle f}$. Puisque, d'après l'hypothèse (1), ${\displaystyle f}$ est injectif, on a donc ${\displaystyle ((j,g))=((k,g))}$, d'où j = k, comme annoncé. Nous avons donc prouvé que

(2) dans l'hypothèse (1), la condition 1° de l'énoncé est satisfaite, à savoir que les ${\displaystyle G_{i}}$ se coupent trivialement deux à deux.

Prouvons maintenant, toujours dans l'hypothèse (1), que la condition 2° de l'énoncé est satisfaite.
Soit ${\displaystyle g}$ un élément de ${\displaystyle G}$. D'après l'hypothèse (1), l'homomorphisme ${\displaystyle f}$ est surjectif, donc il existe un élément ${\displaystyle ((i_{1},g_{1}),\ldots ,(i_{n},g_{n}))}$ de ${\displaystyle {\underset {i\in I}{*}}G_{i}}$ tel que

${\displaystyle g=g_{1}\cdots g_{n}.}$

Le fait que ${\displaystyle ((i_{1},g_{1}),\ldots ,(i_{n},g_{n}))}$ appartient à ${\displaystyle {\underset {i\in I}{*}}G_{i}}$ a les deux conséquences suivantes :

(3) pour tout ${\displaystyle j}$ dans ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$, ${\displaystyle g_{j}}$ appartient à ${\displaystyle G_{i_{j}}^{\sharp }}$;

et

(4) pour tout ${\displaystyle k}$ dans ${\displaystyle \{1,\ldots ,n-1\}}$, ${\displaystyle i_{k}\not =i_{k+1}.}$

Puisque d'après (2), les ${\displaystyle G_{i}^{\sharp }}$ sont deux à deux disjoints, il résulte de (4) que

(5) pour tout ${\displaystyle k}$ dans ${\displaystyle \{1,\ldots ,n-1\}}$, ${\displaystyle G_{i_{k}}^{\sharp }}$ et ${\displaystyle G_{i_{k+1}}^{\sharp }}$ sont disjoints.

Comme, d'après (2) et (3), ${\displaystyle G_{i_{k}}}$ (resp. ${\displaystyle G_{i_{k+1}}}$) est l'unique ${\displaystyle G_{i}}$ qui comprend ${\displaystyle g_{k}}$ (resp. ${\displaystyle g_{k+1}}$), il résulte de (5) que, pour tout ${\displaystyle k}$ dans ${\displaystyle \{1,\ldots ,n-1\}}$, ${\displaystyle g_{k}}$ et ${\displaystyle g_{k+1}}$ n'appartiennent pas à un même ${\displaystyle G_{i}}$. Nous avons donc démontré, dans l'hypothèse (1), l'assertion d'existence du point 2° de l'énoncé, à savoir que, pour tout élément ${\displaystyle g}$ de G, il existe un multiplet ${\displaystyle (g_{1},\ldots ,g_{n})}$ d'éléments de ${\displaystyle \bigcup _{i\in I}G_{i}^{\sharp }}$ satisfaisant aux conditions a) et b) de l'énoncé.
Prouvons l'assertion d'unicité.
Soient ${\displaystyle g}$ un élément de ${\displaystyle G}$ et ${\displaystyle (g_{1},\ldots ,g_{n})}$ un multiplet d'éléments de ${\displaystyle \bigcup _{i\in I}G_{i}^{\sharp }}$ satisfaisant aux conditions a) et b) de l'énoncé. Pour tout ${\displaystyle j}$ dans ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$, désignons par ${\displaystyle i_{j}}$ l'unique élément de ${\displaystyle I}$ tel que ${\displaystyle g_{j}\in G_{i_{j}}}$ (l'unicité résulte de (2)). Puisque nous supposons que la condition a) de l'énoncé est satisfaite, nous avons, pour tout ${\displaystyle k}$ dans ${\displaystyle \{1,\ldots ,n-1\}}$,

${\displaystyle i_{k}\not =i_{k+1}}$,

donc ${\displaystyle ((i_{1},g_{1}),\ldots ,(i_{n},g_{n}))}$ est un élément de ${\displaystyle {\underset {i\in I}{*}}G_{i}}$, donc, puisque nous supposons que la condition b) de l'énoncé est satisfaite,

${\displaystyle g}$ est l'image de ${\displaystyle ((i_{1},g_{1}),\ldots ,(i_{n},g_{n}))}$ par ${\displaystyle f.}$

Puisque, dans l'hypothèse (1), ${\displaystyle f}$ est injectif, cela montre que ${\displaystyle (g_{1},\ldots ,g_{n})}$ est déterminé de manière unique par ${\displaystyle g}$, donc la condition d'unicité du point 2° de l'énoncé est satisfaite.
Nous avons donc prouvé que si ${\displaystyle G}$ est le produit libre interne de la famille ${\displaystyle (G_{i})_{i\in I}}$, les conditions 1° et 2° de l'énoncé sont satisfaites.
Supposons, réciproquement, que les conditions 1° et 2° de l'énoncé sont satisfaites et prouvons que ${\displaystyle G}$ est le produit libre interne de la famille ${\displaystyle (G_{i})_{i\in I}}$. Il s'agit de prouver que l'homomorphisme ${\displaystyle f}$ est bijectif.
Désignons par ${\displaystyle E}$ l'ensemble des multiplets ${\displaystyle (g_{1},\ldots ,g_{n})}$ d'éléments de ${\displaystyle \bigcup _{i\in I}G_{i}^{\sharp }}$ tels que la condition a) de l'énoncé soit satisfaite, c'est-à-dire tels que, pour tout ${\displaystyle j}$ dans ${\displaystyle \{1,\ldots ,n-1\}}$, ${\displaystyle g_{j}}$ et ${\displaystyle g_{j+1}}$ n'appartiennent pas à un même ${\displaystyle G_{i}.}$
Puisque nous supposons que la condition 2° (points a) et b)) de l'énoncé est satisfaite, l'application

${\displaystyle \lambda :E\to G:(g_{1},\ldots ,g_{n})\mapsto g_{1}\cdots g_{n}}$

est une bijection.
D'autre part, si ${\displaystyle ((i_{1},g_{1}),\ldots ,(i_{n},g_{n}))}$ est un élément de ${\displaystyle {\underset {i\in I}{*}}G_{i}}$, nous avons, pour tout ${\displaystyle j}$ dans ${\displaystyle \{1,\ldots ,n-1\}}$, ${\displaystyle i_{j}\not =i_{j+1}}$, donc, puisque nous supposons satisfaite la condition 1°, selon laquelle les ${\displaystyle G_{i}}$ se coupent trivialement deux à deux, ${\displaystyle g_{j}}$ et ${\displaystyle g_{j+1}}$ n'appartiennent pas à un même ${\displaystyle G_{i}.}$, donc ${\displaystyle (g_{1},\ldots ,g_{n})}$ appartient à ${\displaystyle E.}$ Nous pouvons donc définir l'application

${\displaystyle \mu :{\underset {i\in I}{*}}G_{i}\to E:((i_{1},g_{1}),\ldots ,(i_{n},g_{n}))\mapsto (g_{1},\ldots ,g_{n}).}$

Alors

${\displaystyle f=\lambda \circ \mu .}$

Nous avons vu que ${\displaystyle \lambda }$ est une bijection, donc, pour prouver que l'homomorphisme ${\displaystyle f}$ est bijectif, il suffit de prouver que

(thèse 6)${\displaystyle \qquad \mu }$ est une bijection.

Soit ${\displaystyle (g_{1},\ldots ,g_{n})}$ un élément de ${\displaystyle E.}$ Puisque nous supposons que la condition 1° de l'énoncé est satisfaite, nous pouvons, pour tout ${\displaystyle j}$ dans ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$, désigner par ${\displaystyle i_{j}}$ l'unique élément de ${\displaystyle I}$ tel que ${\displaystyle g_{j}}$ appartienne à ${\displaystyle G_{i_{j}}^{\sharp }.}$
Soit ${\displaystyle j}$ un élément de ${\displaystyle \{1,\ldots ,n-1\}}$. Puisque ${\displaystyle (g_{1},\ldots ,g_{n})}$ appartient à ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle g_{j}}$ et ${\displaystyle g_{j+1}}$ n'appartiennent pas à un même ${\displaystyle G_{i}}$, ce qui revient à dire que ${\displaystyle i_{j}\not =i_{j+1}.}$ Donc ${\displaystyle ((i_{1},g_{1}),\ldots ,(i_{n},g_{n}))}$ est un élément de ${\displaystyle {\underset {i\in I}{*}}G_{i}.}$ Puisque l'image de cet élément par ${\displaystyle \mu }$ est ${\displaystyle (g_{1},\ldots ,g_{n})}$, nous avons prouvé que

(7)${\displaystyle \qquad \mu }$ est une surjection.

Prouvons que c'est une injection. Si des éléments ${\displaystyle v}$ et ${\displaystyle w}$ de ${\displaystyle {\underset {i\in I}{*}}G_{i}}$ ont tous deux ${\displaystyle (g_{1},\ldots ,g_{n})}$ pour image par ${\displaystyle \mu }$, alors ${\displaystyle v}$ est de la forme ${\displaystyle ((i_{1},g_{1}),\ldots ,(i_{n},g_{n}))}$ et ${\displaystyle w}$ est de la forme ${\displaystyle ((i'_{1},g_{1}),\ldots ,(i'_{n},g_{n}))}$ avec, pour tout ${\displaystyle j}$ dans ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$,

${\displaystyle g_{j}\in G_{i_{j}}^{\sharp }}$ et ${\displaystyle g_{j}\in G_{i'_{j}}^{\sharp }}$ d'où ${\displaystyle G_{i_{j}}^{\sharp }\cap G_{i'_{j}}^{\sharp }\not =\emptyset .}$

Puisque nous supposons satisfaite la condition 1°, selon laquelle les ${\displaystyle G_{i}}$ se coupent trivialement deux à deux, il faut ${\displaystyle i_{j}=i'_{j}}$ pour tout ${\displaystyle j}$ dans ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$, donc ${\displaystyle v=w}$, donc ${\displaystyle \mu }$ est injective. Joint à (7), cela prouve la thèse (6), à savoir que ${\displaystyle \mu }$ est une bijection. Comme nous l'avons vu, il en résulte que l'homomorphisme ${\displaystyle f}$ est bijectif, ce qui achève la démonstration.

On va donner une démonstration qui s'étend immédiatement de la catégorie des groupes à n'importe quelle catégorie (sous réserve d'existence des coproduits).
Posons ${\displaystyle G={\underset {i\in I}{*}}G_{i}}$ et ${\displaystyle H={\underset {j\in J}{*}}H_{j}}$. Pour tout ${\displaystyle i}$ dans ${\displaystyle I}$, notons ${\displaystyle \varphi _{i}}$ la i-ième inclusion canonique de ${\displaystyle G_{i}}$ dans ${\displaystyle G}$ et, pour tout ${\displaystyle j}$ dans ${\displaystyle J}$, notons ${\displaystyle \psi _{j}}$ la j-ième inclusion canonique de ${\displaystyle H_{j}}$ dans ${\displaystyle H.}$
Pour tout ${\displaystyle i}$ dans ${\displaystyle I}$, ${\displaystyle \psi _{\sigma (i)}}$ est un homomorphisme de ${\displaystyle H_{\sigma (i)}}$ dans ${\displaystyle H}$, autrement dit un homomorphisme de ${\displaystyle G_{i}}$ dans ${\displaystyle H}$. En appliquant la propriété universelle du produit libre à la famille de groupes ${\displaystyle (G_{i})_{i\in I}}$, au groupe d'arrivée ${\displaystyle H}$ et à la famille ${\displaystyle (\psi _{\sigma (i)})_{i\in I}}$ d'homomorphismes ${\displaystyle \psi _{\sigma (i)}:G_{i}\to H}$, nous trouvons qu'il existe un (et un seul) homomorphisme ${\displaystyle f}$ de ${\displaystyle G={\underset {i\in I}{*}}G_{i}}$ dans ${\displaystyle H={\underset {j\in J}{*}}H_{j}}$ tel que, pour tout ${\displaystyle i}$ dans ${\displaystyle I}$,

(1)${\displaystyle \qquad \psi _{\sigma (i)}=f\circ \varphi _{i}.}$

De même, il existe un (et un seul) homomorphisme ${\displaystyle g}$ de ${\displaystyle H={\underset {j\in J}{*}}H_{j}}$ dans ${\displaystyle G={\underset {i\in I}{*}}G_{i}}$ tel que, pour tout ${\displaystyle j}$ dans ${\displaystyle J}$,

${\displaystyle \qquad \varphi _{\sigma ^{-1}(j)}=g\circ \psi _{j}.}$

En remplaçant dans cette dernière relation ${\displaystyle j}$ par ${\displaystyle \sigma (i)}$, nous trouvons que pour tout ${\displaystyle i}$ dans ${\displaystyle i}$,

(2)${\displaystyle \qquad \varphi _{i}=g\circ \psi _{\sigma (i)}.}$

D'après (2), nous pouvons remplacer ${\displaystyle \varphi _{i}}$ par ${\displaystyle g\circ \psi _{\sigma (i)}}$ dans (1). Nous trouvons ainsi que, pour tout ${\displaystyle i}$ dans ${\displaystyle I}$,

${\displaystyle \psi _{\sigma (i)}=f\circ g\circ \psi _{\sigma (i)}}$,

ce qui revient à dire que, pour tout ${\displaystyle j}$ dans ${\displaystyle J}$,

${\displaystyle \psi _{j}=f\circ g\circ \psi _{j}.}$

En appliquant l'assertion d'unicité de la propriété universelle du produit libre à la famille de groupes ${\displaystyle (H_{j})_{j\in J}}$, au groupe d'arrivée ${\displaystyle H={\underset {j\in J}{*}}H_{j}}$ et à la famille ${\displaystyle (\psi _{j})_{j\in J}}$ d'homomorphismes, nous en tirons que

(3)${\displaystyle \qquad f\circ g}$ est l'automorphisme identique de ${\displaystyle H={\underset {j\in J}{*}}H_{j}}$.

D'autre part, d'après (1), nous pouvons remplacer ${\displaystyle \psi _{\sigma (i)}}$ par ${\displaystyle f\circ \varphi _{i}}$ dans (2). Nous trouvons ainsi que, pour tout ${\displaystyle i}$ dans ${\displaystyle I}$,

${\displaystyle \varphi _{i}=g\circ f\circ \varphi _{i}.}$

De nouveau, l'assertion d'unicité de la propriété universelle du produit libre permet de conclure que

${\displaystyle \qquad g\circ f}$ est l'automorphisme identique de ${\displaystyle G={\underset {i\in I}{*}}G_{i}}$.

Joint à (3), cela prouve que ${\displaystyle f}$ est un isomorphisme de ${\displaystyle {\underset {i\in I}{*}}G_{i}}$ sur ${\displaystyle {\underset {j\in J}{*}}H_{j}}$, ce qui démontre l'énoncé.

Remarque. Revenons à la façon dont nous avons construit le coproduit dans le cas particulier de la catégorie des groupes. La relation (1) montre que, pour tout élément ${\displaystyle i}$ de ${\displaystyle I}$ et pour tout élément ${\displaystyle g}$ de ${\displaystyle G_{i}^{\sharp }}$, l'homomorphisme ${\displaystyle f}$ applique ${\displaystyle ((i,g))}$ sur ${\displaystyle ((\sigma (i),g))}$ et applique donc l'élément ${\displaystyle ((i_{i},g_{1}),\ldots ,(i_{n},g_{n}))}$ de ${\displaystyle {\underset {i\in I}{*}}G_{i}}$ sur l'élément ${\displaystyle ((\sigma (i_{1}),g_{1}),\ldots ,(\sigma (i_{n}),g_{n}))}$. (Voir l'explicitation qui accompagne la propriété universelle du produit libre.) Il est alors évident que l'homomorphisme ${\displaystyle f}$ est bijectif et que son isomorphisme réciproque applique l'élément ${\displaystyle ((j_{i},h_{1}),\ldots ,(j_{n},h_{n}))}$ de ${\displaystyle {\underset {j\in J}{*}}H_{j}}$ sur l'élément ${\displaystyle ((\sigma ^{-1}(j_{1}),h_{1}),\ldots ,(\sigma ^{-1}(j_{n}),h_{n}))}$ de ${\displaystyle {\underset {i\in I}{*}}G_{i}}$.

Par définition,

(1) ${\displaystyle G*H}$ est le produit libre de la famille ${\displaystyle (K_{i})_{i\in \{1,2\}}}$, avec ${\displaystyle K_{1}=G}$ et ${\displaystyle K_{2}=H.}$

De même,

(2) ${\displaystyle H*G}$ est le produit libre de la famille ${\displaystyle (L_{j})_{j\in \{1,2\}}}$, avec ${\displaystyle L_{1}=H}$ et ${\displaystyle L_{2}=G.}$

Si nous posons ${\displaystyle I=J=\{1,2\}}$, si nous désignons par ${\displaystyle \sigma }$ la bijection ${\displaystyle (1\ 2)}$ (transposition) de ${\displaystyle \{1,2\}}$ sur lui-même, nous avons, pour tout ${\displaystyle i}$ dans ${\displaystyle I}$,

${\displaystyle L_{\sigma (i)}=K_{i}.}$

Donc, d'après le point a),

${\displaystyle {\underset {i\in I}{*}}K_{i}}$ et ${\displaystyle {\underset {j\in J}{*}}L_{j}}$ sont isomorphes.

D'après (1) et (2), cela revient à dire que ${\displaystyle G*H}$ et ${\displaystyle H*G}$ sont isomorphes.

On va d'abord donner une démonstration qui s'étend immédiatement de la catégorie des groupes à n'importe quelle catégorie où les coproduits existent, puis on verra que la démonstration peut se simplifier dans le cas particulier de la théorie des groupes.
D'après l'axiome du choix, nous pouvons choisir une famille ${\displaystyle (\sigma _{i})_{i\in I}}$ telle que, pour tout ${\displaystyle i}$ dans ${\displaystyle I}$, ${\displaystyle \sigma _{i}}$ soit un isomorphisme de ${\displaystyle G_{i}}$ sur ${\displaystyle H_{i}.}$
Posons ${\displaystyle G={\underset {i\in I}{*}}G_{i}}$ et ${\displaystyle H={\underset {i\in I}{*}}H_{i}.}$
Pour tout ${\displaystyle i}$ dans ${\displaystyle I}$, désignons par ${\displaystyle \varphi _{i}}$ la i-ième inclusion canonique de ${\displaystyle G_{i}}$ dans ${\displaystyle G}$ et par ${\displaystyle \psi _{i}}$ la i-ième inclusion canonique de ${\displaystyle H_{i}}$ dans ${\displaystyle H.}$
D'après la propriété universelle du produit libre, appliquée à le famille de groupes ${\displaystyle (G_{i})_{i\in I}}$, au groupe d'arrivée ${\displaystyle H}$ et à la famille d'homomorphismes ${\displaystyle (g_{i})_{i\in I}}$, où ${\displaystyle g_{i}}$ désigne l'homomorphisme ${\displaystyle \psi _{i}\circ \sigma _{i}}$ de ${\displaystyle G_{i}}$ dans ${\displaystyle H}$, il existe un (et un seul) homomorphisme ${\displaystyle g}$ de ${\displaystyle {\underset {i\in I}{*}}G_{i}}$ dans ${\displaystyle H={\underset {i\in I}{*}}H_{i}}$ tel que, pour tout ${\displaystyle i}$ dans ${\displaystyle I}$,

(1)${\displaystyle \qquad \psi _{i}\circ \sigma _{i}=g\circ \varphi _{i}}$,

d'où

(2)${\displaystyle \qquad \psi _{i}=g\circ \varphi _{i}\circ \sigma _{i}^{-1}.}$

De même, d'après la propriété universelle du produit libre, appliquée à le famille de groupes ${\displaystyle (H_{i})_{i\in I}}$, au groupe d'arrivée ${\displaystyle G}$ et à la famille d'homomorphismes ${\displaystyle (h_{i})_{i\in I}}$, où ${\displaystyle h_{i}}$ désigne l'homomorphisme ${\displaystyle \varphi _{i}\circ \sigma _{i}^{-1}}$ de ${\displaystyle H_{i}}$ dans ${\displaystyle G}$, il existe un (et un seul) homomorphisme ${\displaystyle h}$ de ${\displaystyle {\underset {i\in I}{*}}H_{i}}$ dans ${\displaystyle G={\underset {i\in I}{*}}G_{i}}$ tel que, pour tout ${\displaystyle i}$ dans ${\displaystyle I}$,

(3)${\displaystyle \qquad \varphi _{i}\circ \sigma _{i}^{-1}=h\circ \psi _{i}}$,

d'où

(4)${\displaystyle \qquad \varphi _{i}=h\circ \psi _{i}\circ \sigma _{i}.}$

On va prouver que ${\displaystyle g}$ et ${\displaystyle h}$ sont des isomorphismes réciproques.
D'après (4), nous pouvons remplacer ${\displaystyle \varphi _{i}}$ par ${\displaystyle h\circ \psi _{i}\circ \sigma _{i}}$ dans (2). Nous obtenons ainsi, pour tout ${\displaystyle i}$ dans ${\displaystyle I}$,

(5)${\displaystyle \qquad \psi _{i}=g\circ h\circ \psi _{i}.}$

D'après l'assertion d'unicité de la propriété universelle du produit libre, appliquée à le famille de groupes ${\displaystyle (H_{i})_{i\in I}}$, au groupe d'arrivée ${\displaystyle H}$ et à la famille d'homomorphismes ${\displaystyle (\psi _{i})_{i\in I}}$, la relation (5) montre que

(6)${\displaystyle \qquad g\circ h}$ est l'automorphisme identique de ${\displaystyle {\underset {i\in I}{*}}H_{i}.}$

D'autre part, d'après (2), nous pouvons remplacer ${\displaystyle \psi _{i}}$ par ${\displaystyle g\circ \varphi _{i}\circ \sigma _{i}^{-1}}$ dans (4). Nous obtenons ainsi, pour tout ${\displaystyle i}$ dans ${\displaystyle I}$,

(7)${\displaystyle \qquad \varphi _{i}=h\circ g\circ \varphi _{i}.}$

D'après l'assertion d'unicité de la propriété universelle du produit libre, appliquée à le famille de groupes ${\displaystyle (G_{i})_{i\in I}}$, au groupe d'arrivée ${\displaystyle G}$ et à la famille d'homomorphismes ${\displaystyle (\varphi _{i})_{i\in I}}$, la relation (7) montre que

${\displaystyle \qquad h\circ g}$ est l'automorphisme identique de ${\displaystyle {\underset {i\in I}{*}}G_{i}.}$

Joint à (6), cela prouve que l'homomorphisme ${\displaystyle g}$ de ${\displaystyle {\underset {i\in I}{*}}G_{i}}$ dans ${\displaystyle {\underset {i\in I}{*}}H_{i}}$ est un isomorphisme (dont l'isomorphisme réciproque est ${\displaystyle h}$), d'où l'énoncé.
Montrons maintenant que la démonstration peut se simplifier dans le cas particulier de la catégorie des groupes.
Soient ${\displaystyle i}$ dans ${\displaystyle I}$ et ${\displaystyle x}$ dans ${\displaystyle G_{i}^{\sharp }.}$ D'après la relation (1), l'homomorphisme ${\displaystyle g}$ applique ${\displaystyle ((i,x))}$ sur ${\displaystyle \psi _{i}(\sigma _{i}(x))=(i,\sigma _{i}(x)).}$ Donc, si ${\displaystyle ((i_{1},x_{1}),\ldots ,(i_{n},x_{n}))}$ est un élément de ${\displaystyle {\underset {i\in I}{*}}G_{i}}$,

${\displaystyle g((i_{1},x_{1}),\ldots ,(i_{n},x_{n}))=((i_{1},\sigma _{i_{1}}(x_{1})),\ldots ,(i_{n},\sigma _{i_{n}}(x_{n}))).}$

(Voir par exemple l'explicitation qui accompagne la propriété universelle du produit libre.)
Il en résulte clairement que l'homomorphisme ${\displaystyle g}$ est bijectif et que son isomorphisme réciproque applique l'élément ${\displaystyle ((i_{1},y_{1}),\ldots ,(i_{n},y_{n}))}$ de ${\displaystyle {\underset {i\in I}{*}}H_{i}}$ sur l'élément ${\displaystyle ((i_{1},\sigma _{i_{1}}^{-1}(y_{1})),\ldots ,(i_{n},\sigma _{i_{n}}^{-1}(y_{n})))}$ de ${\displaystyle {\underset {i\in I}{*}}G_{i}.}$

Remarque. En imitant la seconde démonstration ci-dessus, on prouve facilement que si ${\displaystyle (G_{i})_{i\in I}}$ et ${\displaystyle (H_{i})_{i\in I}}$ sont deux familles de groupes, si ${\displaystyle (\sigma _{i})_{i\in I}}$ est une famille telle que, pour tout ${\displaystyle i}$ dans ${\displaystyle I}$, ${\displaystyle \sigma _{i}}$ soit un homomorphisme surjectif (resp. injectif) de ${\displaystyle G_{i}}$ dans ${\displaystyle H_{i}}$, alors il existe un homomorphisme surjectif (resp. injectif) de ${\displaystyle {\underset {i\in I}{*}}G_{i}}$ dans ${\displaystyle {\underset {i\in I}{*}}H_{i}.}$ Cet énoncé ne peut pas s'étendre de la catégorie des groupes à n'importe quelle catégorie où les coproduits existent, car les notions de morphisme injectif et de morphisme surjectif ne s'étendent pas à n'importe quelle catégorie.

Pour tout ${\displaystyle i}$ dans ${\displaystyle I}$, désignons par ${\displaystyle \varphi _{i}}$ la i-ième inclusion canonique de ${\displaystyle G_{i}}$ dans ${\displaystyle {\underset {i\in I}{*}}G_{i}.}$ (Noter que ${\displaystyle (G_{i})_{i\in I}}$ ne dépend pas de ${\displaystyle i}$. Puisque ${\displaystyle \varphi _{i}}$ en dépend, il serait peut-être plus rigoureux d'utiliser une autre variable que ${\displaystyle i}$ dans l'expression ${\displaystyle {\underset {i\in I}{*}}G_{i}}$, mais on va économiser les notations.)
De même, pour tout ${\displaystyle j}$ dans ${\displaystyle J}$, désignons par ${\displaystyle \psi _{j}}$ la j-ième inclusion canonique de ${\displaystyle G_{j}}$ dans ${\displaystyle {\underset {j\in J}{*}}G_{j}.}$

(1) Pour tout ${\displaystyle j}$ dans ${\displaystyle J}$, l'homomorphisme ${\displaystyle \varphi _{j}}$ et l'homomorphisme ${\displaystyle \psi _{j}}$ coïncident en tout élément de ${\displaystyle G_{j}.}$

En effet, ils appliquent tous deux le neutre de ${\displaystyle G_{j}}$ sur le neutre commun ${\displaystyle \emptyset }$ de ${\displaystyle {\underset {i\in I}{*}}G_{i}}$ et de ${\displaystyle {\underset {j\in J}{*}}G_{j}}$ et, pour tout élément ${\displaystyle g}$ de ${\displaystyle G_{j}^{\sharp }}$,

${\displaystyle \varphi _{j}(g)=\psi _{j}(g)=((j,g)).}$

D'après la propriété universelle du produit libre, appliquée à la famille de groupes ${\displaystyle (G_{j})_{j\in J}}$, au groupe d'arrivée ${\displaystyle {\underset {i\in I}{*}}G_{i}}$ et à la famille d'homomorphismes ${\displaystyle (\varphi _{j})_{j\in J}}$, il existe un (et un seul) homomorphisme ${\displaystyle f}$ de ${\displaystyle {\underset {j\in J}{*}}G_{j}}$ dans ${\displaystyle {\underset {i\in I}{*}}G_{i}}$ tel que, pour tout ${\displaystyle j}$ dans ${\displaystyle J}$,

${\displaystyle f\circ \psi _{j}=\varphi _{j}.}$

Donc, pour tout ${\displaystyle x}$ dans ${\displaystyle G_{j}}$, nous avons

${\displaystyle f(\psi _{j}(x))=\varphi _{j}(x).}$

D'après (1), cela peut s'écrire

${\displaystyle f(\psi _{j}(x))=\psi _{j}(x)}$ pour tout ${\displaystyle x}$ dans ${\displaystyle G_{j}}$,

donc

(2) ${\displaystyle \qquad f}$ coïncide avec l'identité en tout élément de ${\displaystyle \psi _{j}(G_{j}).}$

Tout élément de ${\displaystyle {\underset {j\in J}{*}}G_{j}}$ est de la forme

${\displaystyle ((j_{1},x_{1}),\ldots ,(j_{n},x_{n}))=((j_{1},x_{1}))\times \cdots \times ((j_{n},x_{n}))}$,

où, pour tout ${\displaystyle r}$ dans ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\},x_{r}}$ appartient à ${\displaystyle G_{j_{r}}}$, où, pour tout ${\displaystyle r}$ dans ${\displaystyle \{1,\ldots ,n-1\}}$, ${\displaystyle j_{r}}$ et ${\displaystyle j_{r+1}}$ sont distincts et où ${\displaystyle \times }$ désigne la loi de groupe de ${\displaystyle {\underset {j\in J}{*}}G_{j}.}$
Puisque ${\displaystyle f}$ est un homomorphisme et que, d'après (2), il coïncide avec l'identité en tout élément ${\displaystyle ((j,x))}$ de ${\displaystyle \psi _{j}(G_{j})}$, il en résulte que ${\displaystyle f}$ applique l'élément ${\displaystyle ((j_{1},x_{1}),\ldots ,(j_{n},x_{n}))}$ de ${\displaystyle {\underset {j\in J}{*}}G_{j}}$ sur le produit de ${\displaystyle ((j_{1},x_{1}))}$, ..., et de ${\displaystyle ((j_{n},x_{n}))}$ dans ${\displaystyle {\underset {i\in I}{*}}G_{i}}$, c'est-à-dire sur ${\displaystyle ((j_{1},x_{1}),\ldots ,(j_{n},x_{n}))}$ lui-même. Donc ${\displaystyle {\underset {j\in J}{*}}G_{j}}$ est contenu dans ${\displaystyle {\underset {i\in I}{*}}G_{i}}$ et l'application ${\displaystyle v\mapsto v}$ de ${\displaystyle {\underset {j\in J}{*}}G_{j}}$ dans ${\displaystyle {\underset {i\in I}{*}}G_{i}}$ est un homomorphisme, ce qui revient à dire que ${\displaystyle {\underset {j\in J}{*}}G_{j}}$ est un sous-groupe de ${\displaystyle {\underset {i\in I}{*}}G_{i}}$.

On va d'abord donner une démonstration qui s'étend immédiatement à toute catégorie où les coproduits existent, puis on examinera comment les choses se passent « concrètement » dans le cas de la catégorie des groupes (avec nos définitions du produit libre et des inclusions canoniques).
Pour ${\displaystyle i}$ dans ${\displaystyle \{1,2,3\}}$, nous noterons

(1)${\displaystyle \qquad \varphi _{i}:G_{i}\to G_{1}*G_{2}*G_{3}}$

la i-ième inclusion canonique de ${\displaystyle G_{i}}$ dans ${\displaystyle G_{1}*G_{2}*G_{3}={\underset {i\in \{1,2,3\}}{*}}G_{i}.}$ (Noter que cette dernière expression ne dépend pas de ${\displaystyle i}$.)
Pour ${\displaystyle j}$ dans ${\displaystyle \{1,2\}}$, nous noterons

(2)${\displaystyle \qquad \psi _{j}:G_{j}\to G_{1}*G_{2}}$

la j-ième inclusion canonique de ${\displaystyle G_{j}}$ dans ${\displaystyle G_{1}*G_{2}={\underset {j\in \{1,2\}}{*}}G_{j}.}$
Nous allons nous servir de la propriété universelle du produit libre pour définir un homomorphisme de ${\displaystyle (G_{1}*G_{2})*G_{3}}$ dans ${\displaystyle G_{1}*G_{2}*G_{3}}$, homomorphisme qui s'avérera être un isomorphisme. Pour cela, nous allons d'abord définir deux homomorphismes, l'un de ${\displaystyle G_{1}*G_{2}}$ et l'autre de ${\displaystyle G_{3}}$, dans ${\displaystyle G_{1}*G_{2}*G_{3}}$, puis, à l'aide de la propriété universelle, nous « synthétiserons » ces deux homomorphismes en un homomorphisme de ${\displaystyle (G_{1}*G_{2})*G_{3}}$ dans ${\displaystyle G_{1}*G_{2}*G_{3}.}$
En appliquant la propriété universelle du produit libre à la famille de groupes ${\displaystyle (G_{j})_{j\in \{1,2\}}}$, au groupe d'arrivée ${\displaystyle G_{1}*G_{2}*G_{3}}$ et à la famille d'homomorphismes ${\displaystyle (\varphi _{j})_{j\in \{1,2\}}}$ (où les ${\displaystyle \varphi _{j}}$ sont définis comme en (1)), nous trouvons qu'il existe un (et un seul) homomorphisme

${\displaystyle h_{1}:G_{1}*G_{2}\to G_{1}*G_{2}*G_{3}}$

tel que, pour tout ${\displaystyle j}$ dans ${\displaystyle \{1,2\}}$,

(3)${\displaystyle \qquad \varphi _{j}=h_{1}\circ \psi _{j}}$,

où les ${\displaystyle \psi _{j}}$ sont définis comme en (2).
(D'après la solution du problème 4, ${\displaystyle h_{1}}$ est l'application ${\displaystyle v\mapsto v}$ de ${\displaystyle G_{1}*G_{2}}$ dans ${\displaystyle G_{1}*G_{2}*G_{3}}$, mais nous n'utiliserons pas ce fait dans la présente démonstration, que nous voulons pouvoir étendre immédiatement à toute catégorie où les coproduits existent.)
Comme homomorphisme de ${\displaystyle G_{3}}$ dans ${\displaystyle G_{1}*G_{2}*G_{3}}$, nous prenons

(4)${\displaystyle \qquad h_{2}=\varphi _{3}}$

(troisième inclusion canonique de ${\displaystyle G_{3}}$ dans ${\displaystyle G_{1}*G_{2}*G_{3}}$).
Posons ${\displaystyle H_{1}=G_{1}*G_{2}}$ et ${\displaystyle H_{2}=G_{3}).}$
Alors ${\displaystyle h_{1}}$ (resp. ${\displaystyle h_{2}}$) est un homomorphisme de ${\displaystyle H_{1}}$ (resp. ${\displaystyle H_{2}}$) dans ${\displaystyle G_{1}*G_{2}*G_{3}.}$
Pour tout ${\displaystyle k}$ dans ${\displaystyle \{1,2\}}$, désignons par

(5)${\displaystyle \qquad \lambda _{k}}$ la ${\displaystyle k}$-ième inclusion canonique de ${\displaystyle H_{k}}$ dans ${\displaystyle H_{1}*H_{2}=(G_{1}*G_{2})*G_{3}.}$

En appliquant la propriété universelle du produit libre à la famille de groupes ${\displaystyle (H_{k})_{k\in \{1,2\}}}$, au groupe d'arrivée ${\displaystyle G_{1}*G_{2}*G_{3}}$ et à la famille d'homomorphismes ${\displaystyle (h_{k})_{k\in \{1,2\}}}$, nous trouvons qu'il existe un (et un seul) homomorphisme

${\displaystyle h:(G_{1}*G_{2})*G_{3}\to G_{1}*G_{2}*G_{3}}$

tel que, pour tout ${\displaystyle k}$ dans ${\displaystyle \{1,2\}}$,

${\displaystyle h\circ \lambda _{k}=h_{k}}$,

autrement dit

(6)${\displaystyle \qquad h\circ \lambda _{1}=h_{1}}$

et

(7)${\displaystyle \qquad h\circ \lambda _{2}=\varphi _{3}.}$

Définissons maintenant un homomorphisme

${\displaystyle l:G_{1}*G_{2}*G_{3}\to (G_{1}*G_{2})*G_{3}}$

(qui s'avérera être le réciproque de ${\displaystyle h}$).
Pour définir ${\displaystyle l}$ à l'aide de la propriété universelle du produit libre, nous allons considérer trois homomorphismes ${\displaystyle l_{1},l_{2}}$ et ${\displaystyle l_{3}}$ partant respectivement de ${\displaystyle G_{1}}$, de ${\displaystyle G_{2}}$ et de ${\displaystyle G_{3}}$ et arrivant dans ${\displaystyle (G_{1}*G_{2})*G_{3}.}$
Comme homomorphisme ${\displaystyle l_{1}:G_{1}\to (G_{1}*G_{2})*G_{3}}$, nous prenons

(8)${\displaystyle \qquad l_{1}=\lambda _{1}\circ \psi _{1}}$,

avec les définitions (2) et (5) des ${\displaystyle \psi _{j}}$ et des ${\displaystyle \lambda _{k}.}$
Comme homomorphisme ${\displaystyle l_{2}:G_{2}\to (G_{1}*G_{2})*G_{3}}$, nous prenons

(9)${\displaystyle \qquad l_{2}=\lambda _{1}\circ \psi _{2}}$

et comme homomorphisme ${\displaystyle l_{3}:G_{3}\to (G_{1}*G_{2})*G_{3}}$, nous prenons

(10)${\displaystyle \qquad l_{3}=\lambda _{2}.}$

En appliquant la propriété universelle du produit libre à la famille de groupes ${\displaystyle (G_{i})_{i\in \{1,2,3\}}}$, au groupe d'arrivée ${\displaystyle (G_{1}*G_{2})*G_{3}}$ et à la famille d'homomorphismes ${\displaystyle (l_{i})_{i\in \{1,2,3\}}}$, nous trouvons qu'il existe un (et un seul) homomorphisme

${\displaystyle l:G_{1}*G_{2}*G_{3}\to (G_{1}*G_{2})*G_{3}}$

tel que, pour tout ${\displaystyle i}$ dans ${\displaystyle \{1,2,3\}}$,

${\displaystyle l\circ \varphi _{i}=l_{i}}$,

ce qui, d'après les définitions (8) à (10) des ${\displaystyle l_{i}}$, revient à

(11)${\displaystyle \qquad l\circ \varphi _{1}=\lambda _{1}\circ \psi _{1}}$,

(12)${\displaystyle \qquad l\circ \varphi _{2}=\lambda _{1}\circ \psi _{2}}$

et

(13)${\displaystyle \qquad l\circ \varphi _{3}=\lambda _{2}.}$

Prouvons maintenant que les homomorphismes

${\displaystyle h:(G_{1}*G_{2})*G_{3}\to G_{1}*G_{2}*G_{3}}$

et

${\displaystyle l:G_{1}*G_{2}*G_{3}\to (G_{1}*G_{2})*G_{3}}$

sont réciproques.
Prouvons d'abord que l'endomorphisme

${\displaystyle h\circ l}$

de ${\displaystyle G_{1}*G_{2}*G_{3}}$ est l'endomorphisme identique.
D'après l'assertion d'unicité de la propriété universelle du produit libre, il suffit de prouver que

(thèse 14) ${\displaystyle \qquad h\circ l\circ \varphi _{1}=\varphi _{1},}$,

(thèse 15) ${\displaystyle \qquad h\circ l\circ \varphi _{2}=\varphi _{2}}$

et

(thèse 16) ${\displaystyle \qquad h\circ l\circ \varphi _{3}=\varphi _{3}.}$

D'après (11), nous avons ${\displaystyle l\circ \varphi _{1}=\lambda _{1}\circ \psi _{1}}$, donc

${\displaystyle h\circ l\circ \varphi _{1}=h\circ \lambda _{1}\circ \psi _{1}.}$

D'après (6), ${\displaystyle h\circ \lambda _{1}=h_{1}}$, donc notre résultat peut s'écrire

${\displaystyle h\circ l\circ \varphi _{1}=h_{1}\circ \psi _{1}.}$

D'après (3), le membre droit égale ${\displaystyle \varphi _{1}}$, donc le résultat peut s'écrire

${\displaystyle h\circ l\circ \varphi _{1}=\varphi _{1}}$,

ce qui est la thèse (14).
D'après (12), nous avons ${\displaystyle l\circ \varphi _{2}=\lambda _{1}\circ \psi _{2}}$, donc

${\displaystyle h\circ l\circ \varphi _{2}=h\circ \lambda _{1}\circ \psi _{2}.}$

D'après (6), ${\displaystyle h\circ \lambda _{1}=h_{1}}$, donc notre résultat peut s'écrire

${\displaystyle h\circ l\circ \varphi _{2}=h_{1}\circ \psi _{2}.}$

D'après (3), le membre droit égale ${\displaystyle \varphi _{2}}$, donc le résultat peut s'écrire

${\displaystyle h\circ l\circ \varphi _{2}=\varphi _{2}}$,

ce qui est la thèse (15).
D'après (13), nous avons ${\displaystyle l\circ \varphi _{3}=\lambda _{2}}$, donc

${\displaystyle h\circ l\circ \varphi _{3}=h\circ \lambda _{2}.}$

D'après (7), le membre droit égale ${\displaystyle \varphi _{3}}$, donc le résultat peut s'écrire

${\displaystyle h\circ l\circ \varphi _{3}=\varphi _{3}}$,

ce qui est la thèse (16).
Nous avons donc prouvé les thèses (14), (15) et (16). Comme nous l'avons vu, il en résulte que

(17)${\displaystyle \qquad h\circ l}$ est l'endomorphisme identique de ${\displaystyle G_{1}*G_{2}*G_{3}.}$

Prouvons maintenant que

${\displaystyle l\circ h}$ est l'endomorphisme identique de ${\displaystyle (G_{1}*G_{2})*G_{3}.}$

D'après l'assertion d'unicité de la propriété universelle du produit libre, il suffit de prouver que

(thèse 18)${\displaystyle \qquad l\circ h\circ \lambda _{1}=\lambda _{1}}$

et

(thèse 19)${\displaystyle \qquad l\circ h\circ \lambda _{2}=\lambda _{2}.}$

Toujours d'après l'assertion d'unicité de la propriété universelle du produit libre, il suffit, pour prouver la thèse (18), de prouver que

(thèse 18 a)${\displaystyle \qquad l\circ h\circ \lambda _{1}\circ \psi _{1}=\lambda _{1}\circ \psi _{1}}$

et

(thèse 18 b)${\displaystyle \qquad l\circ h\circ \lambda _{1}\circ \psi _{2}=\lambda _{1}\circ \psi _{2}.}$

Puisque, d'après (6), ${\displaystyle h\circ \lambda _{1}=h_{1}}$, ces deux thèses peuvent s'écrire

(thèse 20)${\displaystyle \qquad l\circ h_{1}\circ \psi _{1}=\lambda _{1}\circ \psi _{1}}$

et

(thèse 21)${\displaystyle \qquad l\circ h_{1}\circ \psi _{2}=\lambda _{1}\circ \psi _{2}.}$

D'après (3), nous avons ${\displaystyle h_{1}\circ \psi _{1}=\varphi _{1}}$ et ${\displaystyle h_{1}\circ \psi _{2}=\varphi _{2}}$, donc les thèses (20) et (21) peuvent s'écrire

${\displaystyle l\circ \varphi _{1}=\lambda _{1}\circ \psi _{1}}$

et

${\displaystyle l\circ \varphi _{2}=\lambda _{1}\circ \psi _{2}}$,

ce qui est vrai d'après (11) et (12). Nous avons donc prouvé les thèses (20) et (21), qui, comme nous l'avons vu, prouvent la thèse (18).
Prouvons la thèse (19).
D'après (7), nous avons ${\displaystyle \qquad h\circ \lambda _{2}=\varphi _{3}}$, d'où

${\displaystyle l\circ h\circ \lambda _{2}=l\circ \varphi _{3}.}$

D'après (13), le membre droit égale ${\displaystyle \lambda _{2}}$, donc le résultat peut s'écrire

${\displaystyle l\circ h\circ \lambda _{2}=\lambda _{2}}$,

ce qui est la thèse (19).
Nous avons donc prouvé les thèses (18) et (19). Comme on l'a vu, il en résulte que

${\displaystyle l\circ h}$ est l'endomorphisme identique de ${\displaystyle (G_{1}*G_{2})*G_{3}.}$

Joint à (17), cela montre que les homomorphismes ${\displaystyle h}$ et ${\displaystyle l}$ sont réciproques, donc ${\displaystyle h}$ est un isomorphisme de ${\displaystyle (G_{1}*G_{2})*G_{3}}$ sur ${\displaystyle G_{1}*G_{2}*G_{3}}$, ce qui prouve l'énoncé de la question a).
La démonstration qui précède s'étend immédiatement de la catégorie des groupes à toute catégorie où les coproduits existent. À titre superfétatoire, voyons maintenant comment les choses se passent « concrètement » dans le cas de la catégorie des groupes (avec nos définitions du produit libre et des inclusions canoniques).
D'après (6), nous avons

${\displaystyle h\circ \lambda _{1}=h_{1}}$

et nous avons noté, après la définition (3) de ${\displaystyle h_{1}}$, que, dans le cas particulier de la catégorie des groupes, ${\displaystyle h_{1}}$ est l'application ${\displaystyle v\mapsto v}$ de ${\displaystyle G_{1}*G_{2}}$ dans ${\displaystyle G_{1}*G_{2}*G_{3}.}$ Donc,

pour tout ${\displaystyle v}$ dans ${\displaystyle (G_{1}*G_{2})^{\sharp }}$,

(22)${\displaystyle \qquad h}$ applique l'élément ${\displaystyle \lambda _{1}=((1,v))}$ de ${\displaystyle (G_{1}*G_{2})*G_{3}}$ sur l'élément ${\displaystyle v}$ de ${\displaystyle G_{1}*G_{2}\subseteq G_{1}*G_{2}*G_{3}.}$

En faisant ${\displaystyle v=\psi _{1}(x)=((1,x))}$ dans (22), nous trouvons que

pour tout ${\displaystyle x}$ dans ${\displaystyle G_{1}^{\sharp }}$,

(23)${\displaystyle \qquad h}$ applique l'élément ${\displaystyle ((1,((1,x))))}$ de ${\displaystyle (G_{1}*G_{2})*G_{3}}$ sur l'élément ${\displaystyle ((1,x))}$ de ${\displaystyle G_{1}*G_{2}*G_{3}.}$

En faisant maintenant ${\displaystyle v=\psi _{2}(y)=((2,y))}$ dans (22), nous trouvons que

pour tout ${\displaystyle y}$ dans ${\displaystyle G_{2}^{\sharp }}$,

(24)${\displaystyle \qquad h}$ applique l'élément ${\displaystyle ((1,((2,y))))}$ de ${\displaystyle (G_{1}*G_{2})*G_{3}}$ sur l'élément ${\displaystyle ((2,y))}$ de ${\displaystyle G_{1}*G_{2}*G_{3}.}$

D'après (7), nous avons

${\displaystyle h\circ \lambda _{2}=\varphi _{3}.}$

Vu les définitions (5) et (1) de ${\displaystyle \lambda _{2}}$ et de ${\displaystyle \varphi _{3}}$, il en résulte que

pour tout élément ${\displaystyle z}$ de ${\displaystyle G_{3}^{\sharp }}$,

(25)${\displaystyle \qquad h}$ applique l'élément ${\displaystyle ((2,z))}$ de ${\displaystyle (G_{1}*G_{2})*G_{3}}$ sur l'élément ${\displaystyle ((3,z))}$ de ${\displaystyle G_{1}*G_{2}*G_{3}.}$

Les relations (23) à (25) montrent comment ${\displaystyle h}$ agit « concrètement » sur une certaine partie génératrice de ${\displaystyle (G_{1}*G_{2})*G_{3}.}$ Voyons maintenant ce qu'il en est de ${\displaystyle l.}$
D'après (11),

${\displaystyle l\circ \varphi _{1}=\lambda _{1}\circ \psi _{1}.}$

Vu les définitions (1), (5) et (2) de ${\displaystyle \varphi _{1}}$, de ${\displaystyle \lambda _{1}}$ et de ${\displaystyle \psi _{1}}$, il en résulte que,

pour tout élément ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle G_{1}^{\sharp }}$,

(26)${\displaystyle \qquad l}$ applique l'élément ${\displaystyle ((1,x))}$ de ${\displaystyle G_{1}*G_{2}*G_{3}}$ sur l'élément ${\displaystyle ((1,((1,x))))}$ de ${\displaystyle (G_{1}*G_{2})*G_{3}.}$

D'après (12),

${\displaystyle l\circ \varphi _{2}=\lambda _{1}\circ \psi _{2}.}$

Vu les définitions (1), (5) et (2) de ${\displaystyle \varphi _{2}}$, de ${\displaystyle \lambda _{1}}$ et de ${\displaystyle \psi _{2}}$, il en résulte que,

pour tout élément ${\displaystyle y}$ de ${\displaystyle G_{2}^{\sharp }}$,

(27)${\displaystyle \qquad l}$ applique l'élément ${\displaystyle ((2,y))}$ de ${\displaystyle G_{1}*G_{2}*G_{3}}$ sur l'élément ${\displaystyle ((1,((2,y))))}$ de ${\displaystyle (G_{1}*G_{2})*G_{3}.}$

D'après (13),

${\displaystyle l\circ \varphi _{3}=\lambda _{2}.}$

Vu les définitions (1) et (5) de ${\displaystyle \varphi _{3}}$ et de ${\displaystyle \lambda _{2}}$, il en résulte que,

pour tout élément ${\displaystyle z}$ de ${\displaystyle G_{3}^{\sharp }}$,

(28)${\displaystyle \qquad l}$ applique l'élément ${\displaystyle ((3,z))}$ de ${\displaystyle G_{1}*G_{2})*G_{3}}$ sur l'élément ${\displaystyle ((2,z))}$ de ${\displaystyle (G_{1}*G_{2})*G_{3}.}$

De (23) et (26), il résulte que

pour tout ${\displaystyle x}$ dans ${\displaystyle G_{1}^{\sharp },l\circ h}$ applique l'élément ${\displaystyle ((1,((1,x))))}$ de ${\displaystyle (G_{1}*G_{2})*G_{3}}$ sur lui-même et ${\displaystyle h\circ l}$ applique l'élément ${\displaystyle ((1,x))}$ de ${\displaystyle G_{1}*G_{2}*G_{3}}$ sur lui-même.

De (24) et (27), il résulte que

pour tout ${\displaystyle y}$ dans ${\displaystyle G_{2}^{\sharp },l\circ h}$ applique l'élément ${\displaystyle ((1,((2,y))))}$ de ${\displaystyle (G_{1}*G_{2})*G_{3}}$ sur lui-même et ${\displaystyle h\circ l}$ applique l'élément ${\displaystyle ((2,y))}$ de ${\displaystyle G_{1}*G_{2}*G_{3}}$ sur lui-même.

De (25) et (28), il résulte que

pour tout ${\displaystyle z}$ dans ${\displaystyle G_{3}^{\sharp },l\circ h}$ applique l'élément ${\displaystyle ((2,z))}$ de ${\displaystyle (G_{1}*G_{2})*G_{3}}$ sur lui-même et ${\displaystyle h\circ l}$ applique l'élément ${\displaystyle ((3,z))}$ de ${\displaystyle G_{1}*G_{2}*G_{3}}$ sur lui-même.

Ainsi, les endomorphismes ${\displaystyle l\circ h}$ et ${\displaystyle h\circ l}$ coïncident avec l'identité dans certaines parties génératrices de leurs groupes de définition, donc ${\displaystyle l}$ et ${\displaystyle h}$ sont des isomorphismes.