Soient ${\displaystyle \gamma ,\delta }$ des éléments de S_X, soient ${\displaystyle y,y'}$ deux différents éléments de Y. Nous avons d'une part

${\displaystyle (\gamma \delta )_{Y,y}(x,y)=((\gamma \delta )(x),y)}$

${\displaystyle (\gamma \delta )_{Y,y}(x,y)=(\gamma (\delta x),y)}$

${\displaystyle (\gamma \delta )_{Y,y}(x,y)=\gamma _{Y,y}(\delta x,y)}$

(1) ${\displaystyle (\gamma \delta )_{Y,y}(x,y)=\gamma _{Y,y}(\delta _{Y,y}(x,y))}$

et d'autre part

${\displaystyle (\gamma \delta )_{Y,y}(x,y')=(x,y')}$

${\displaystyle (\gamma \delta )_{Y,y}(x,y')=\gamma _{Y,y}(x,y')}$

(2) ${\displaystyle (\gamma \delta )_{Y,y}(x,y')=\gamma _{Y,y}(\delta _{Y,y}(x,y'))}$

Les résultats (1) et (2) montrent que

${\displaystyle (\gamma \delta )_{Y,y}=\gamma _{Y,y}\circ \delta _{Y,y},}$

donc ${\displaystyle \eta \mapsto \eta _{Y,y}}$ définit un homomorphisme du groupe S_X dans le groupe S _{X × Y}.

Prouvons que cet homomorphisme est injectif.
Si ${\displaystyle \eta }$ appartient au noyau de cet homomorphisme, alors

${\displaystyle \eta _{Y,y}(x,y)=(x,y)}$ pour tout x dans X.

Par définition de ${\displaystyle \eta _{Y,y},}$ le premier membre égale ${\displaystyle (\eta x,y).}$ Nous avons donc ${\displaystyle \eta x=x}$ pour tout x dans X, autrement dit ${\displaystyle \eta =\mathrm {id} _{X}}$, ce qui prouve que, comme annoncé, l'homomorphisme ${\displaystyle \eta \mapsto \eta _{Y,y}}$ du groupe S_X dans le groupe S _{X × Y} est injectif.

Soient ${\displaystyle \kappa }$ et ${\displaystyle \lambda }$ des éléments de S_Y, soit ${\displaystyle (x,y)\in X\times Y.}$ Alors

${\displaystyle (\kappa \lambda )_{X}^{*}(x,y)=(x,(\kappa \lambda )y)}$

${\displaystyle (\kappa \lambda )_{X}^{*}(x,y)=(x,\kappa (\lambda y))}$

${\displaystyle (\kappa \lambda )_{X}^{*}(x,y)=\kappa _{X}^{*}(x,\lambda y)}$

${\displaystyle (\kappa \lambda )_{X}^{*}(x,y)=\kappa _{X}^{*}(\lambda _{X}^{*}(x,y)),}$

donc

${\displaystyle (\kappa \lambda )_{X}^{*}=\kappa _{X}^{*}\circ \lambda _{X}^{*},}$

ce qui montre que ${\displaystyle \kappa \mapsto \kappa _{X}^{*}}$ définit un homomorphisme du groupe S_Y dans le groupe S _{X × Y}.

Prouvons que cet homomorphisme est injectif.
Si ${\displaystyle \kappa }$ appartient au noyau de cet homomorphisme, alors

${\displaystyle \kappa _{X}^{*}(x,y)=(x,y)}$ pour tout ${\displaystyle (x,y)\in X\times Y.}$

Par définition de ${\displaystyle \kappa _{X}^{*}}$, cela signifie que

${\displaystyle (x,\kappa y)=(x,y)}$ pour tout x dans X et tout ydans Y.

Puisque X est supposé non vide, cela entraîne ${\displaystyle \kappa y=y}$ pour tout y dans Y, autrement dit ${\displaystyle \kappa =\mathrm {id} _{Y},}$ ce qui prouve que, comme annoncé, l'homomorphisme ${\displaystyle \kappa \mapsto \kappa _{X}^{*}}$ du groupe S_Y dans le groupe S _{X × Y} est injectif.

L'assertion étant banale pour n = 0, on peut supposer n > 0.
Par définition de ${\displaystyle v_{p}}$, ${\displaystyle v_{p}(n!)}$ est l'exposant de p dans le produit ${\displaystyle 1\cdot 2\cdots (n-1)\cdot n.}$ On peut faire abstraction des facteurs non divisibles par p, donc ${\displaystyle v_{p}(n!)}$ est l'exposant de p dans ${\displaystyle (1p)(2p)\ldots ([{\frac {n}{p}}]p),}$ c'est-à-dire dans

${\displaystyle p^{[n/p]}(1\cdot 2\cdots [{\frac {n}{p}}])=p^{[n/p]}[{\frac {n}{p}}]!}$

Donc

(1) ${\displaystyle v_{p}(n!)=[{\frac {n}{p}}]+v_{p}([{\frac {n}{p}}]!).}$

Puisque n est supposé non nul, nous avons ${\displaystyle [{\frac {n}{p}}]<n}$, donc, par hypothèse de récurrence,

${\displaystyle v_{p}([{\frac {n}{p}}]!)=[{\frac {[{\frac {n}{p}}]}{p}}]+[{\frac {[{\frac {n}{p}}]}{p^{2}}}]+\cdots }$

donc (1) peut s'écrire

(2) ${\displaystyle v_{p}(n!)=[{\frac {n}{p}}]+[{\frac {[{\frac {n}{p}}]}{p}}]+[{\frac {[{\frac {n}{p}}]}{p^{2}}}]+\cdots }$

Prouvons que, pour tout nombre naturel s,

(thèse 3) ${\displaystyle [{\frac {[{\frac {n}{p}}]}{p^{s}}}]=[{\frac {n}{p^{s+1}}}].}$

Plus généralement, prouvons que si n est un nombre naturel et a, b des nombres naturels non nuls, alors

(thèse 4) ${\displaystyle [{\frac {[{\frac {n}{a}}]}{b}}]=[{\frac {n}{ab}}].}$

Le premier membre est le plus grand nombre naturel t tel que ${\displaystyle bt\leq [{\frac {n}{a}}],}$ c'est-à-dire le plus grand nombre naturel ttel que ${\displaystyle bt\leq n/a,}$ autrement dit tel que ${\displaystyle t\leq n/ab}$, d'où la thèse (4) et en particulier la thèse (3). En portant (3) dans (2), nous obtenons l'énoncé.