On notera multiplicativement par juxtaposition la loi de groupe de G et celles (multiplication point par point) de ${\displaystyle G^{\star }}$ et de ${\displaystyle G^{\star \star }}$.
Soit x un élément de G. Prouvons que

(thèse 1) ${\displaystyle {\tilde {x}}}$ est un homomorphisme de ${\displaystyle G^{\star }}$ dans ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$.

Soient f et g deux éléments de ${\displaystyle G^{\star }}$. Alors ${\displaystyle {\tilde {x}}(fg)=(fg)(x)=f(x)g(x)={\tilde {x}}(f){\tilde {x}}(g)}$, ce qui prouve notre thèse (1).
Prouvons maintenant que

(thèse 2) ${\displaystyle x\to {\tilde {x}}}$ définit un homomorphisme de ${\displaystyle G}$ dans ${\displaystyle G^{\star \star }}$.

Soient x, y des éléments de G; il s'agit de prouver que

(thèse 3) ${\displaystyle {\widetilde {xy}}={\tilde {x}}{\tilde {y}}}$.

Pour tout élément f de ${\displaystyle G^{\star }}$, nous avons

${\displaystyle {\widetilde {xy}}(f)=f(xy)=f(x)f(y)={\tilde {x}}(f){\tilde {y}}(f)=({\tilde {x}}{\tilde {y}})(f)}$,

ce qui prouve notre thèse (3) et donc notre thèse (2), à savoir que l'application

${\displaystyle \psi :G\rightarrow G^{\star \star }:x\mapsto {\tilde {x}}}$

est un homomorphisme.
Prouvons que

(thèse 4) l'homomorphisme ${\displaystyle \psi }$ de ${\displaystyle G}$ dans ${\displaystyle G^{\star \star }}$ est injectif.

Soit x un élément du noyau de ${\displaystyle \psi }$; il suffit de prouver que

(thèse 5) x est l'élément neutre de G.

Dire que x appartient au noyau de ${\displaystyle \psi }$ signifie que pour tout élément f de ${\displaystyle G^{\star }}$, ${\displaystyle {\tilde {x}}(f)=1}$; autrement dit,

(6) pour tout élément f de ${\displaystyle G^{\star }}$, f(x) = 1.

Il s'agit donc de prouver que si x est un élément de G tel que, pour tout homomorphisme f de G dans ${\displaystyle \mathbb {C} }$, on ait f(x) = 1, alors x = 1.
Puisque G est un groupe abélien fini, il admet une décomposition

(7) ${\displaystyle G=G_{1}\times \cdots \times G_{r}}$

en somme directe (interne) de sous-groupes cycliques.
Puisque, pour tout i, ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$ contient un sous-groupe cyclique du même ordre que ${\displaystyle G_{i}}$ et que deux groupes cycliques de même ordre sont isomorphes, il existe, pour tout i, un homomorphisme injectif ${\displaystyle \sigma _{i}}$ de ${\displaystyle G_{i}}$ dans ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$.
Pour tout i dans {1, ... , r}, notons pr_i la i-ième projection ${\displaystyle G\rightarrow G_{i}}$ correspondant à cette décomposition (7) de G; on a vu que pr_i est un homomorphisme. (Voir chapitre Produit de groupes.) Alors ${\displaystyle \sigma _{i}\circ \mathrm {pr} _{i}}$ est un homomorphisme de G dans ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$, donc nous pouvons faire ${\displaystyle f=\sigma _{i}\circ \mathrm {pr} _{i}}$ dans (6). Donc, pour tout i,

${\displaystyle \sigma _{i}\circ \mathrm {pr} _{i}(x)=1}$.

Puisque l'homomorphisme ${\displaystyle \sigma _{i}}$ est injectif, cela entraîne

${\displaystyle \mathrm {pr} _{i}(x)=1}$ pour tout i,

d'où x = 1, ce qui prouve la thèse (5) et donc la thèse (4), à savoir que l'homomorphisme ${\displaystyle \psi }$ de ${\displaystyle G}$ dans ${\displaystyle G^{\star \star }}$ est injectif. D'après le chapitre théorique, ${\displaystyle G}$ et ${\displaystyle G^{\star \star }}$ ont le même nombre (fini) d'éléments, donc ${\displaystyle \psi }$, étant injectif, doit être bijectif et est donc un isomorphisme, ce qui achève la démonstration.