À toute permutation ${\displaystyle \sigma }$ de Y, faisons correspondre la transformation ${\displaystyle {\overline {\sigma }}}$ qui coïncide avec ${\displaystyle \sigma }$ en tout point de Y et qui fixe tout point de ${\displaystyle X\setminus Y.}$ Il est clair que ${\displaystyle {\overline {\sigma }}}$ est une permutation de ${\displaystyle X}$ et que ${\displaystyle \sigma \mapsto {\overline {\sigma }}}$ définit une injection ${\displaystyle f}$ de l'ensemble ${\displaystyle S_{Y}}$ dans l'ensemble ${\displaystyle S_{X}.}$ On vérifie facilement que, pour toutes permutations ${\displaystyle \sigma ,\tau }$ de ${\displaystyle Y}$,

${\displaystyle {\overline {\sigma \circ \tau }}={\overline {\sigma }}\circ {\overline {\tau }}}$,

autrement dit l'application ${\displaystyle f:\sigma \mapsto {\overline {\sigma }}}$ est un homomorphisme du groupe ${\displaystyle S_{Y}}$ dans le groupe ${\displaystyle S_{X}.}$ On a vu que cet homomorphisme est injectif, donc ${\displaystyle S_{Y}}$ est isomorphe au sous-groupe ${\displaystyle f(S_{Y})}$ de ${\displaystyle S_{X}}$, ce qui démontre l'énoncé.

Appliquer le point a) aux ensembles ${\displaystyle X=\{1,\ldots n\}}$ et ${\displaystyle Y=\{1,\ldots r\}.}$

Désignons par ${\displaystyle T_{a}}$ le sous-groupe de ${\displaystyle S_{a+b}}$ formé par les permutations fixant chaque élément de ${\displaystyle \{a+1,\ldots ,a+b\}}$; désignons par ${\displaystyle T_{b}}$ le sous-groupe de ${\displaystyle S_{a+b}}$ formé par les permutations fixant chaque élément de ${\displaystyle \{1,\ldots ,a\}}$. Comme dans la solution de la question a), on prouve que

(1)${\displaystyle \qquad T_{a}}$ est isomorphe à ${\displaystyle S_{a}}$ et ${\displaystyle T_{b}}$ à ${\displaystyle S_{b}}$.

D'autre part, une permutation appartenant à ${\displaystyle T_{a}\cap T_{b}}$ fixe chaque élément de ${\displaystyle \{1,\ldots ,a+b\}}$, donc

(2)${\displaystyle \qquad T_{a}}$ et ${\displaystyle T_{b}}$ se coupent trivialement.

Enfin, le support d'une permutation appartenant à ${\displaystyle T_{a}}$ est forcément contenu dans ${\displaystyle \{1,\ldots a\}}$ et le support d'une permutation appartenant à ${\displaystyle T_{b}}$ est forcément contenu dans ${\displaystyle \{a+1,\ldots ,b\}}$, donc une permutation appartenant à ${\displaystyle T_{a}}$ et une permutation appartenant à ${\displaystyle T_{b}}$ ont toujours des supports disjoints, donc

(3)${\displaystyle \qquad }$ toute permutation appartenant à ${\displaystyle T_{a}}$ commute avec toute permutation appartenant à ${\displaystyle T_{b}}$.

Nos résultats (1) à (3) montrent que le sous-groupe de ${\displaystyle S_{a+b}}$ engendré par ${\displaystyle T_{a}}$ et ${\displaystyle T_{b}}$ est isomorphe au produit direct ${\displaystyle S_{a}\times S_{b}}$, d'où l'énoncé.

Soit ${\displaystyle \ \sigma }$ une permutation de E appartenant au centre de ${\displaystyle \ S_{E}}$. Il s'agit de prouver que ${\displaystyle \ \sigma }$ est la permutation identique. Soit a un élément de E. Il s'agit de prouver que ${\displaystyle \ \sigma }$ fixe a. Puisque E est supposé comprendre au moins trois éléments, nous pouvons choisir dans E deux éléments distincts de a, soient b et c. Puisque ${\displaystyle \ \sigma }$ appartient au centre de ${\displaystyle \ S_{E}}$, ${\displaystyle \ \sigma }$ commute avec les transpositions (a b) et (a c), donc

${\displaystyle \ \sigma }$ (a b) ${\displaystyle \ \sigma ^{-1}}$ = (a b)

et

${\displaystyle \ \sigma }$ (b c) ${\displaystyle \ \sigma ^{-1}}$ = (b c).

Compte tenu de l'effet d'une conjugaison sur un cycle (voir théorie), cela peut s'écrire

(${\displaystyle \ \sigma }$(a) ${\displaystyle \ \sigma }$(b) ) = (a b)

et

(${\displaystyle \ \sigma }$(a) ${\displaystyle \ \sigma }$(c) ) = (a c).

En passant aux supports, on en tire

{${\displaystyle \ \sigma }$(a), ${\displaystyle \ \sigma }$(b)} = {a, b}

et

{${\displaystyle \ \sigma }$(a), ${\displaystyle \ \sigma }$(c)} = {a, c}.

On a donc {${\displaystyle \ \sigma }$(a), ${\displaystyle \ \sigma }$(b)} ⋂ {${\displaystyle \ \sigma }$(a), ${\displaystyle \ \sigma }$(c)} = {a, b} ⋂ {a, c}, d'où ${\displaystyle \ \sigma }$(a) = a. Comme on l'a vu, cela prouve l'énoncé.

Comme noté dans la théorie, une paire {i, j} est une inversion de ${\displaystyle \sigma \circ \tau }$ si et seulement une des deux conditions suivantes est satisfaite :

1° ${\displaystyle \ \{i,j\}}$ est une inversion de ${\displaystyle \ \tau }$ et ${\displaystyle \ \{\tau (i),\tau (j)\}}$ n’est pas une inversion de ${\displaystyle \ \sigma }$;

2° ${\displaystyle \ \{i,j\}}$ n’est pas une inversion de ${\displaystyle \ \tau }$ et ${\displaystyle \ \{\tau (i),\tau (j)\}}$ est une inversion de ${\displaystyle \ \sigma }$.

L'ensemble des inversions de ${\displaystyle \sigma \circ \tau }$ est donc la différence symétrique de ${\displaystyle \ \mathrm {Inv} (\tau )}$ et de ${\displaystyle {\tilde {\tau }}^{-1}(\mathrm {Inv} (\sigma ))}$.
(Rappelons que la différence symétrique ${\displaystyle A\bigtriangleup B}$ de deux ensembles A et B est par définition l’ensemble ${\displaystyle (A\setminus B)\cup (B\setminus A)}$ et que si A et B sont finis, ${\displaystyle \mathrm {Card} (A\bigtriangleup B)=\mathrm {Card} (A)+\mathrm {Card} (B)-2\mathrm {Card} (A\cap B)}$). Donc
${\displaystyle \mathrm {Card} \ (\ \mathrm {Inv} (\sigma \circ \tau )\ )=\mathrm {Card} \ (\ \mathrm {Inv} (\tau )\ )\ +\ \mathrm {Card} \ (\ {\tilde {\tau }}^{-1}(\mathrm {Inv} (\sigma ))\ )\ -\ 2\ \mathrm {Card} \ (\ \mathrm {Inv} (\tau )\ \cap \ {\tilde {\tau }}^{-1}(\mathrm {Inv} (\sigma ))\ )}$.
Puisque ${\displaystyle {\tilde {\tau }}}$ est une permutation de l’ensemble des paires, ${\displaystyle {\tilde {\tau }}^{-1}(\mathrm {Inv} (\sigma ))}$ est équipotent à ${\displaystyle \ \mathrm {Inv} (\sigma )}$, d'où la thèse.

Soient

${\displaystyle \lambda =\lambda _{1}\cdots \lambda _{r}}$

et

${\displaystyle \mu =\mu _{1}\cdots \mu _{s}}$

les décompositions canoniques de ${\displaystyle \lambda }$ et de ${\displaystyle \mu }$ en cycles.
Donc les supports des ${\displaystyle \lambda _{i}}$ sont deux à deux disjoints et les supports des ${\displaystyle \mu _{j}}$ le sont aussi. D'autre part, puisque les supports de ${\displaystyle \lambda }$ et de ${\displaystyle \mu }$ sont disjoints, le support de chaque ${\displaystyle \lambda _{i}}$ est disjoint du support de chaque ${\displaystyle \mu _{j}}$. Donc

(1) ${\displaystyle \qquad }$ les supports des cycles ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots \lambda _{r},\mu _{1},\ldots \mu _{s}}$ sont deux à deux disjoints.

L'hypothèse ${\displaystyle \gamma =\lambda \mu }$ peut s'écrire

${\displaystyle \gamma =\lambda _{1}\cdots \lambda _{r}\mu _{1}\cdots \mu _{s}}$,

donc, d'après (1),

l'écriture ${\displaystyle \lambda _{1}\cdots \lambda _{r}\mu _{1}\cdots \mu _{s}}$ est la décomposition canonique de ${\displaystyle \gamma }$ en cycles.

Mais, puisque ${\displaystyle \gamma }$ est un cycle, il est à lui seul sa propre décomposition canonique, donc ${\displaystyle r+s=1}$, donc

ou bien (r=1 et s=0) ou bien (r=0 et s=1).

Dans le premier cas, ${\displaystyle \mu }$ est la permutation identique et ${\displaystyle \lambda =\gamma }$; dans le second cas, ${\displaystyle \lambda }$ est la permutation identique et ${\displaystyle \mu =\gamma }$, ce qui démontre l'énoncé.

Soit ${\displaystyle y}$ un élément de Y. Par hypothèse,

${\displaystyle \alpha (y)=\beta (y)}$,

${\displaystyle y=\alpha ^{-1}\beta (y)}$,

donc ${\displaystyle y}$ n'appartient pas au support de ${\displaystyle \alpha ^{-1}\beta }$. Donc, si nous posons ${\displaystyle \nu =\alpha ^{-1}\beta }$, alors

${\displaystyle \beta =\alpha \nu }$

et le support de ${\displaystyle \nu }$ est disjoint de Y, ce qui démontre l'énoncé.

Soient ${\displaystyle \gamma =(a_{1}\ldots a_{n})}$ un ${\displaystyle n}$-cycle de ${\displaystyle S_{X}}$ et ${\displaystyle \lambda }$ un élément de ${\displaystyle S_{X}}$ commutant avec ${\displaystyle \gamma }$.
Puisque ${\displaystyle \lambda }$ commute avec ${\displaystyle \gamma }$, nous avons

${\displaystyle \qquad \lambda \gamma \lambda ^{-1}=\gamma .}$

Compte tenu de l'effet d'une conjugaison sur un cycle, cela peut s'écrire

(1)${\displaystyle \qquad (\lambda (a_{1})\ldots \lambda (a_{n}))=(a_{1}\ldots a_{n}).}$

(2)${\displaystyle \qquad }$Les deux ${\displaystyle n}$-uplets ${\displaystyle (\lambda (a_{1}),\ldots ,\lambda (a_{n}))}$ et ${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})}$ sont donc égaux « à une rotation près ».

En particulier, il existe un ${\displaystyle i}$ dans ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$ tel que

${\displaystyle \qquad \lambda (a_{1})=a_{i}}$

${\displaystyle \qquad \lambda (a_{1})=\gamma ^{i-1}(a_{1}).}$

Compte tenu de (2), nous avons alors

${\displaystyle \qquad \lambda (a_{2})=\gamma ^{i}(a_{1})}$,

${\displaystyle \qquad \lambda (a_{2})=\gamma ^{i-1}(a_{2})}$

et, de proche en proche,

${\displaystyle \qquad \lambda (a_{j})=\gamma ^{i-1}(a_{j})}$

pour tout ${\displaystyle j}$ dans ${\displaystyle \{1,\ldots n\}.}$
Donc les permutations ${\displaystyle \lambda }$ et ${\displaystyle \gamma ^{i-1}}$ coïncident en tout élément du support de ${\displaystyle \gamma }$. D'après un problème précédent, on a donc

${\displaystyle \qquad \lambda =\gamma ^{i-1}\nu }$,

où ${\displaystyle \nu }$ est une permutation de X dont le support est disjoint de celui de ${\displaystyle \gamma }$.
Nous avons ainsi prouvé que tout élément du centralisateur de ${\displaystyle \gamma }$ dans ${\displaystyle S_{X}}$ est de la forme ${\displaystyle \mu \nu }$, où ${\displaystyle \mu }$ est une puissances de ${\displaystyle \gamma }$ et où ${\displaystyle \nu }$ est une permutations de X dont le support est disjoint de celui de ${\displaystyle \gamma .}$ Réciproquement, toute permutation ayant cette forme ${\displaystyle \mu \nu }$ est le produit de deux permutations commutant avec ${\displaystyle \gamma }$ et commute donc avec ${\displaystyle \gamma }$, ce qui achève de prouver l'énoncé.

D'après le point a), tout élément du centralisateur de ${\displaystyle \gamma }$ dans ${\displaystyle S_{X}}$ est de la forme ${\displaystyle \mu \nu }$, où ${\displaystyle \mu }$ est une puissances de ${\displaystyle \gamma }$ et où ${\displaystyle \nu }$ est une permutations de X dont le support est disjoint de celui de ${\displaystyle \gamma .}$ D'après les hypothèses de l'énoncé, le support de ${\displaystyle \nu }$ est donc vide ou réduit à un élément. Mais le support d'une permutation n'est jamais réduit à un élément, donc le support de ${\displaystyle \nu }$ est vide, donc ${\displaystyle \nu }$ est la permutation identique de X, donc tout élément du centralisateur de ${\displaystyle \gamma }$ dans ${\displaystyle S_{X}}$ est une puissance de ${\displaystyle \gamma }$. Réciproquement, toute puissance de ${\displaystyle \gamma }$ commute avec ${\displaystyle \gamma }$, d'où l'énoncé.

Supposons que

(hyp. 1)${\displaystyle \qquad }$les supports de ${\displaystyle \gamma _{1}}$ et de ${\displaystyle \gamma _{2}}$ ne sont pas disjoints.

Il s'agit alors de prouver que

(thèse 2)${\displaystyle \qquad \gamma _{1}}$ et ${\displaystyle \gamma _{2}}$ sont puissances l'un de l'autre.

Puisque ${\displaystyle \gamma _{2}}$ appartient au centralisateur de ${\displaystyle \gamma _{1}}$ dans ${\displaystyle S_{X}}$, nous avons, d'après un précédent problème,

(3)${\displaystyle \qquad \gamma _{2}={\gamma _{1}}^{n}\ \lambda }$,

où ${\displaystyle n}$ est un nombre naturel et ${\displaystyle \lambda }$ une permutation de X dont le support est disjoint de celui de ${\displaystyle \gamma _{1}.}$ Puisque ${\displaystyle \gamma _{2}}$ est un cycle, la relation (3) entraîne, d'après un précédent problème, que

(4)${\displaystyle \qquad \gamma _{2}}$ est égal à ${\displaystyle {\gamma _{1}}^{n}}$ ou à ${\displaystyle \lambda }$.

Mais, puisque le support de ${\displaystyle \lambda }$ est disjoint de celui de ${\displaystyle \gamma _{1}}$ et que, d'après l'hypothèse (1), le support de ${\displaystyle \gamma _{2}}$ n'est pas disjoint de celui de ${\displaystyle \gamma _{1}}$, nous avons ${\displaystyle \gamma _{2}\not =\lambda }$, donc, d'après (4),

${\displaystyle \qquad \gamma _{2}={\gamma _{1}}^{n}}$,

donc ${\displaystyle \gamma _{2}}$ est une puissance de ${\displaystyle \gamma _{1}.}$
Puisque les hypothèses de l'énoncé et l'hypothèse (1) sont symétriques en ${\displaystyle \gamma _{1}}$ et en ${\displaystyle \gamma _{2}}$, ${\displaystyle \gamma _{1}}$ est de même une puissance de ${\displaystyle \gamma _{2}}$, d'où la thèse (2) et donc l'énoncé.

Soit ${\displaystyle \gamma =(x_{1}\ x_{2}\ldots \ x_{n}).}$
Supposons d'abord

${\displaystyle \qquad \vert X\vert =n.}$

Donc

${\displaystyle \qquad X=\{x_{1},\ldots x_{n}\}.}$

Convenons de définir un inverseur de ${\displaystyle \gamma }$ comme une permutation ${\displaystyle \lambda }$ de X telle que

${\displaystyle \lambda \gamma \lambda ^{-1}=\gamma ^{-1}}$,

ce qui peut s'exprimer par l'égalité entre cycles

${\displaystyle \qquad (\lambda (x_{1})\ldots \lambda (x_{n}))=(x_{1}\ldots x_{n}).}$

D'après cela, il est clair que la permutation de X

${\displaystyle \qquad \lambda _{0}=(x_{1}\ x_{n})(x_{2}\ x_{n-1})\cdots (x_{(n-1)/2}\ x_{(n+3)/2})}$

est un inverseur de ${\displaystyle \gamma }$; son unique point fixe est ${\displaystyle x_{(n+1)/2}.}$
Notons maintenant que ${\displaystyle \gamma }$ peut aussi s'écrire

${\displaystyle \qquad (x_{2}\ x_{3}\ldots x_{n}\ x_{1}).}$

Plus généralement, pour tout ${\displaystyle j}$ dans ${\displaystyle \{0,1,\ldots ,n-1\}}$, nous avons

${\displaystyle \qquad \gamma =(y_{j,1}\ y_{j,2}\ldots \ y_{j,n})}$,

où, pour tout ${\displaystyle i}$ dans ${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}$,

${\displaystyle \qquad y_{j,i}=x_{\overline {j+i}}}$,

${\displaystyle {\overline {s}}}$ désignant, pour tout ${\displaystyle s}$ dans ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, l'unique élément de ${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}$ qui est congru à ${\displaystyle s}$ modulo ${\displaystyle n.}$ Comme plus haut, il en résulte que la permutation de X

${\displaystyle \qquad \lambda _{j}=(y_{j,1}\ y_{j,n})(y_{j,2}\ y_{j,n-1})\cdots (y_{j,(n-1)/2}\ y_{j,(n+3)/2})}$

est un inverseur de ${\displaystyle \gamma }$; son unique point fixe est ${\displaystyle y_{j,(n+1)/2}=x_{\overline {j+(n+1)/2}}.}$
Si ${\displaystyle j}$ et ${\displaystyle j'}$ sont des éléments de ${\displaystyle \{0,1,\ldots ,n-1\}}$ tels que

${\displaystyle \qquad x_{\overline {j+(n+1)/2}}=x_{\overline {j'+(n+1)/2}}}$,

alors

${\displaystyle j+(n+1)/2\equiv j'+(n+1)/2{\pmod {n}}}$,

${\displaystyle j\equiv j'{\pmod {n}}}$,

donc, puisqu'on suppose que ${\displaystyle j}$ et ${\displaystyle j'}$ appartiennent tous deux à ${\displaystyle \{0,1,\ldots ,n-1\}}$, ${\displaystyle j=j'.}$
Cela montre que, pour ${\displaystyle j}$ et ${\displaystyle j'}$ distincts dans ${\displaystyle \{0,1,\ldots ,n-1\}}$, ${\displaystyle \lambda _{j}}$ et ${\displaystyle \lambda _{j'}}$ n'ont pas le même point fixe, donc

${\displaystyle \lambda _{0},\cdots ,\lambda _{n-1}}$ sont ${\displaystyle n}$ différents inverseurs de ${\displaystyle \gamma .}$

Nous avons ainsi trouvé ${\displaystyle n}$ différents inverseurs de ${\displaystyle \gamma }$ dont chacun est le produit de (n-1)/2 transpositions à supports deux à deux disjoints.
Prouvons que, d'autre part, les inverseurs de ${\displaystyle \gamma }$ forment une classe à gauche modulo le sous-groupe ${\displaystyle \langle \gamma \rangle }$ de ${\displaystyle S_{X}}$ engendré par ${\displaystyle \gamma .}$ (Cette classe à gauche est aussi une classe à droite, car elle est symétrique : si ${\displaystyle \lambda }$ est un inverseur de ${\displaystyle \gamma }$, ${\displaystyle \lambda ^{-1}}$ en est un lui aussi.)
Nous avons trouvé des inverseurs de ${\displaystyle \gamma }$, donc nous pouvons en choisir un, par exemple ${\displaystyle \lambda _{0}.}$
Une permutation ${\displaystyle \lambda }$ de X est un inverseur de ${\displaystyle \gamma }$ si et seulement si

${\displaystyle \lambda \gamma \lambda ^{-1}=\lambda _{0}\gamma {\lambda _{0}}^{-1}}$,

ce qui équivaut à

${\displaystyle {\lambda _{0}}^{-1}\lambda \gamma \lambda ^{-1}\lambda _{0}=\gamma }$ ,

et ceci revient à dire que

(1)${\displaystyle \qquad {\lambda _{0}}^{-1}\lambda }$ centralise ${\displaystyle \gamma .}$

D'après le problème « Centralisateur d'un long cycle », le centralisateur de ${\displaystyle \gamma }$ est le sous-groupe ${\displaystyle \langle \gamma \rangle }$ de ${\displaystyle S_{X}}$ engendré par ${\displaystyle \gamma }$, donc (1) montre qu'une permutation ${\displaystyle \lambda }$ de X est un inverseur de ${\displaystyle \gamma }$ si et seulement si ${\displaystyle {\lambda _{0}}^{-1}\lambda }$ appartient à ${\displaystyle \langle \gamma \rangle }$, autrement dit si ${\displaystyle \lambda }$ appartient à ${\displaystyle \lambda _{0}\langle \gamma \rangle .}$ Cela prouve que, comme annoncé, les inverseurs de ${\displaystyle \gamma }$ forment une classe à gauche modulo ${\displaystyle \langle \gamma \rangle .}$
Puisque ${\displaystyle \langle \gamma \rangle }$ est d'ordre ${\displaystyle n}$, les inverseurs de ${\displaystyle \gamma }$ sont donc en nombre ${\displaystyle n}$, donc ce sont les inverseurs ${\displaystyle \lambda _{0},\ldots ,\lambda _{n-1}}$ que nous avons déjà trouvés. Chacun de ces inverseurs est le produit de ${\displaystyle (n-1)/2}$ transpositions à supports deux à deux disjoints, ce qui démontre l'énoncé dans le cas où ${\displaystyle \vert X\vert =n.}$
On peut déduire le cas ${\displaystyle \vert X\vert =n+1}$ du cas ${\displaystyle \vert X\vert =n}$ en considérant les birestrictions de ${\displaystyle \gamma }$ et de ${\displaystyle \lambda }$ au support de ${\displaystyle \gamma .}$ (On aurait d'ailleurs pu rédiger la démonstration en une seule fois, en parlant de l'unique point fixe de ${\displaystyle \lambda }$ dans le support de ${\displaystyle \gamma }$ plutôt que de l'unique point fixe de ${\displaystyle \lambda .}$)

On ne va pas utiliser tout de suite les hypothèses selon lesquelles ${\displaystyle n}$ est impair et ${\displaystyle \sigma }$ d'ordre 2.
Puisque ${\displaystyle \sigma }$ commute avec ${\displaystyle \gamma \ \delta =(x_{1}\ldots x_{n})\ (y_{1}\ldots y_{n})}$, nous avons

${\displaystyle \sigma \ (x_{1}\ldots x_{n})\ (y_{1}\ldots y_{n})\ \sigma {}^{-1}=(x_{1}\ldots x_{n})\ (y_{1}\ldots y_{n}).}$

Vu l'effet d'une conjugaison sur la décomposition canonique en cycles, cela peut s'écrire

(1)${\displaystyle \qquad (\sigma (x_{1})\ldots \sigma (x_{n}))\ (\sigma (y_{1})\ldots \sigma (y_{n}))=(x_{1}\ldots x_{n})\ (y_{1}\ldots y_{n}).}$

Vu l'unicité de la décomposition canonique en cycles, une des deux conditions suivantes est donc satisfaite :

(i)${\displaystyle \qquad (\sigma (x_{1})\ldots \sigma (x_{n}))=(x_{1}\ldots x_{n})}$ et ${\displaystyle (\sigma (y_{1})\ldots \sigma (y_{n}))=(y_{1}\ldots y_{n})}$;

(ii)${\displaystyle \qquad (\sigma (x_{1})\ldots \sigma (x_{n}))=(y_{1}\ldots y_{n})}$ et ${\displaystyle (\sigma (y_{1})\ldots \sigma (y_{n}))=(x_{1}\ldots x_{n}).}$

Notons A l'ensemble ${\displaystyle \{x_{1},\ldots ,x_{n}\}}$ et B l'ensemble ${\displaystyle \{y_{1},\ldots ,y_{n}\}.}$ Puisque le support de ${\displaystyle \gamma }$ est A, ${\displaystyle \gamma }$ admet une birestriction ${\displaystyle \gamma \vert A}$ à A. Cette birestriction est le cycle ${\displaystyle (x_{1}\ldots x_{n})\in S_{A}.}$ De même, ${\displaystyle \delta }$ admet une birestriction ${\displaystyle \delta \vert B}$ à B et cette birestriction est le cycle ${\displaystyle (y_{1}\ldots y_{n})\in S_{B}.}$
Supposons d'abord que la condition (i) soit satisfaite.
Alors nous avons (passage aux supports) ${\displaystyle \{\sigma (x_{1}),\ldots ,\sigma (x_{n})\}=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}}$, donc ${\displaystyle \sigma }$ admet une birestriction ${\displaystyle \sigma \vert A}$ à A. De même, ${\displaystyle \sigma }$ admet une birestriction ${\displaystyle \sigma \vert B}$ à B.
La première des deux égalités (i), à savoir ${\displaystyle (\sigma (x_{1})\ldots \sigma (x_{n}))=(x_{1}\ldots x_{n})}$, montre que ${\displaystyle \sigma \vert A}$ commute avec le cycle ${\displaystyle (x_{1}\ldots x_{n})\in S_{A}.}$ D'après le problème « Centralisateur d'un long cycle », nous avons donc

${\displaystyle \sigma \vert A=(\gamma \vert A)^{r}}$

pour un certain nombre naturel ${\displaystyle r.}$ De même,

${\displaystyle \sigma \vert B=(\delta \vert B)^{s}}$

pour un certain nombre naturel ${\displaystyle s.}$ Alors ${\displaystyle \sigma }$ coïncide avec ${\displaystyle \gamma ^{r}\delta ^{s}}$ en tout point de A et en tout point de B. De plus, en passant aux supports dans (1), nous voyons que ${\displaystyle \sigma }$ transforme ${\displaystyle A\cup B}$ en lui-même, donc si ${\displaystyle \vert X\vert =2n+1}$, ${\displaystyle \sigma }$ fixe l'unique élément de ${\displaystyle X\setminus (A\cup B).}$ Dès lors (que ${\displaystyle \vert X\vert }$ soit égal à ${\displaystyle 2n}$ ou à ${\displaystyle 2n+1}$), ${\displaystyle \sigma }$ coïncide avec ${\displaystyle \gamma ^{r}\delta ^{s}}$ en tout élément de X, donc

(2)${\displaystyle \qquad \sigma =\gamma ^{r}\delta ^{s}.}$

Puisque les supports de ${\displaystyle \gamma }$ et de ${\displaystyle \delta }$ sont disjoints, ${\displaystyle \gamma }$ et ${\displaystyle \delta }$ commutent, donc, d'après (2),

(3)${\displaystyle \qquad }$l'ordre de ${\displaystyle \sigma }$ divise ${\displaystyle n.}$

Jusqu'ici, nous n'avons pas utilisé les hypothèses selon lesquelles ${\displaystyle n}$ est impair et ${\displaystyle \sigma }$ d'ordre 2. Dans ces hypothèses, (3) est impossible, donc la condition (i) est impossible, donc c'est la condition (ii) qui est satisfaite, à savoir

${\displaystyle (\sigma (x_{1})\ldots \sigma (x_{n}))=(y_{1}\ldots y_{n})}$ et ${\displaystyle (\sigma (y_{1})\ldots \sigma (y_{n}))=(x_{1}\ldots x_{n}).}$

En passant aux supports, nous trouvons

${\displaystyle \{\sigma (x_{1}),\ldots ,\sigma (x_{n})\}=\{y_{1},\ldots ,y_{n}\}}$ et ${\displaystyle \{\sigma (y_{1}),\ldots ,\sigma (y_{n})\}=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}.}$

La première de ces deux égalités montre que, pour tout ${\displaystyle i}$ dans ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$, il existe un et un seul ${\displaystyle i'}$ dans ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$ tel que

${\displaystyle \sigma (x_{i})=y_{i'}.}$

Puisque ${\displaystyle \sigma }$ est supposée d'ordre 2, on a alors

${\displaystyle \sigma (y_{i'})=x_{i}}$,

donc

${\displaystyle \sigma =(x_{1}y_{1'})(x_{2}y_{2'})\cdots (x_{n}y_{n'}).}$

Ainsi, ${\displaystyle \sigma }$ est le produit de ${\displaystyle n}$ transpositions à supports deux à deux disjoints, ce qui démontre l'énoncé.