Soient X un ensemble et Y une partie de X.
On a vu dans un exercice de la série Groupes libres, premiers éléments qu'un élément

${\displaystyle ((x_{1},\epsilon _{1}),\ldots ,(x_{n},\epsilon _{n}))}$

de F(X) appartient au dérivé ${\displaystyle F'(X)}$ de F(X) si et seulement, pour tout élément x de X,

${\displaystyle \sum _{1\leq i\leq n,\ x_{i}=x}\epsilon _{i}=0.}$

De même, un élément

${\displaystyle ((y_{1},\lambda _{1}),\ldots ,(y_{r},\lambda _{r}))}$

du sous-groupe F(Y) de F(X) appartient à ${\displaystyle F'(Y)}$ si et seulement si, pour tout élément y de Y,

${\displaystyle \sum _{1\leq j\leq n,\ y_{j}=y}\lambda _{j}=0.}$

On en tire facilement que

(1) ${\displaystyle F'(Y)=F(Y)\cap F'(X).}$

Supposons maintenant ${\displaystyle \vert X\vert \geq 2.}$
Choisissons une partie Y de cardinal 2 de X.
D'après un exercice de la série Groupes libres : théorème de Nielsen-Schreier, ${\displaystyle F'(Y)}$ est de rang infini, ce qui, d'après (1), revient à dire que

(2) ${\displaystyle F(Y)\cap F'(X)}$ est de rang infini.

Puisque F(Y) est de rang 2 et donc de rang fini, il résulte de (2) et du théorème de Howson que ${\displaystyle F'(X)}$ est de rang infini. Puisque tout groupe libre de rang ${\displaystyle \geq 2}$ est isomorphe à un groupe F(X) avec ${\displaystyle \vert X\vert \geq 2,}$ l'énoncé en résulte.