Notons d le degré ${\displaystyle \chi (1)}$ de ${\displaystyle \chi .}$
L'ordre de g est égal à 2 ou à 1, donc d'après le théorème 9 du chapitre théorique (forme précise), ${\displaystyle \chi (g)}$ est la somme d'une famille de d racines carrées de l'unité.
Soit donc

(1) ${\displaystyle \qquad \chi (g)=\lambda _{1}+\cdots +\lambda _{d},}$

où chaque ${\displaystyle \lambda _{i}}$ appartient à la paire {1, -1}. Pour chaque i,

${\displaystyle \lambda _{i}\in \mathbb {Z} }$ et ${\displaystyle \lambda _{i}\equiv 1{\pmod {2}},}$

donc (1) entraîne

${\displaystyle \chi (g)\in \mathbb {Z} }$ et ${\displaystyle \chi (g)\equiv d{\pmod {2}}.}$

Puisque d désigne ${\displaystyle \chi (1)}$, l'énoncé en résulte.

Puisque ${\displaystyle T_{1}}$ et ${\displaystyle T_{2}}$ sont irréductibles, les espaces ${\displaystyle V_{1}}$ et ${\displaystyle V_{2}}$ sont non nuls, donc nous pouvons choisir ${\displaystyle v_{1}}$ non nul dans ${\displaystyle V_{1}}$ et ${\displaystyle v_{2}}$ non nul dans ${\displaystyle V_{2}}$.
Soit ${\displaystyle \gamma :G\rightarrow \mathbb {C} }$ une fonction centrale.
D'après la définition de T,

${\displaystyle (\sum _{g\in G}\gamma (g)T(g))(v_{1},v_{2})=(\sum _{g\in G}\gamma (g)T_{1}(g)(v_{1}),\sum _{g\in G}\gamma (g)T_{2}(g)(v_{2})).}$

D'après le lemme 27 du chapitre théorique, cela peut s'écrire

${\displaystyle (\sum _{g\in G}\gamma (g)T(g))(v_{1},v_{2})=({\frac {\vert G\vert }{d_{1}}}(\gamma \vert {\overline {\chi _{1}}})v_{1},{\frac {\vert G\vert }{d_{2}}}(\gamma \vert {\overline {\chi _{2}}})v_{2}),}$

où ${\displaystyle \chi _{1}}$ désigne le caractère de ${\displaystyle T_{1}}$ et ${\displaystyle \chi _{2}}$ le caractère de ${\displaystyle T_{2}}$. Puisque ${\displaystyle v_{1}}$ et ${\displaystyle v_{2}}$ sont non nuls, il en résulte que si la fonction centrale ${\displaystyle \gamma }$ est telle que ${\displaystyle {\frac {\vert G\vert }{d_{1}}}(\gamma \vert {\overline {\chi _{1}}})\neq {\frac {\vert G\vert }{d_{2}}}(\gamma \vert {\overline {\chi _{2}}})}$, alors ${\displaystyle \sum _{g\in G}\gamma (g)T(g)}$ n'est pas une homothétie.
Donc pour prouver l'énoncé, il suffit de trouver une fonction centrale ${\displaystyle \gamma }$ telle que

(thèse 1) ${\displaystyle \qquad {\frac {\vert G\vert }{d_{1}}}(\gamma \vert {\overline {\chi _{1}}})\neq {\frac {\vert G\vert }{d_{2}}}(\gamma \vert {\overline {\chi _{2}}}).}$

Puisque ${\displaystyle T_{1}}$ et ${\displaystyle T_{2}}$ ne sont pas équivalentes, nous avons

${\displaystyle \chi _{1}\neq \chi _{2},}$ d'où ${\displaystyle {\overline {\chi _{1}}}\neq {\overline {\chi _{2}}}.}$

Prenons pour ${\displaystyle \gamma }$ la fonction (centrale) ${\displaystyle {\overline {\chi _{1}}}.}$ Alors, d'après les théorèmes 17 et 25 du chapitre théorique,

${\displaystyle {\frac {\vert G\vert }{d_{1}}}(\gamma \vert {\overline {\chi _{1}}})={\frac {\vert G\vert }{d_{1}}}({\overline {\chi _{1}}}\vert {\overline {\chi _{1}}})={\frac {\vert G\vert }{d_{1}}}\neq 0}$

et

${\displaystyle {\frac {\vert G\vert }{d_{2}}}(\gamma \vert {\overline {\chi _{2}}})={\frac {\vert G\vert }{d_{2}}}({\overline {\chi _{1}}}\vert {\overline {\chi _{2}}})=0.}$

Nous avons donc prouvé que la fonction centrale ${\displaystyle \gamma ={\overline {\chi _{1}}}}$ satisfait à la thèse (1), d'où l'énoncé.