Définition

Définition

Soit ${\displaystyle X=\{x_{1},\dots ,x_{n}\}}$ un ensemble fini. Soit ${\displaystyle \mu }$ une fonction de ${\displaystyle X}$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$. Étant donné ${\displaystyle A\subset X}$ un sous-ensemble de ${\displaystyle X}$, on appelle ${\displaystyle \mu -}$mesure de ${\displaystyle A}$ la quantité :

${\displaystyle m_{\mu }(A)=\sum _{x\in A}\mu (x)}$.

Autrement dit, ${\displaystyle m_{\mu }}$ est une fonction définie de l’ensemble des parties de ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ vers ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$. De plus la fonction ${\displaystyle m_{\mu }}$ possède la propriété dite d'additivité.

Propriété d'additivité

Si ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ sont deux sous-ensembles disjoints de ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle m_{\mu }(A\cup B)=m_{\mu }(A)+m_{\mu }(B)}$.

Démonstration

En effet, on a :

${\displaystyle m_{\mu }(A\cup B)=\sum _{x\in A\cup B}\mu (x)=\sum _{x\in A}\mu (x)+\sum _{x\in B}\mu (x)=m_{\mu }(A)+m_{\mu }(B)}$.

La fonction ${\displaystyle m_{\mu }}$ vérifie également ${\displaystyle m_{\mu }(\emptyset )=0}$. Ces deux propriétés constituent la définition d'une mesure.

Définition

Soit ${\displaystyle X}$ un ensemble fini. On appelle mesure sur ${\displaystyle X}$ toute fonction

${\displaystyle {\begin{matrix}m&:&{\mathcal {P}}(X)&\rightarrow &\mathbb {R} ^{+}\\&&A&\mapsto &m(A)\end{matrix}}}$

telle que ${\displaystyle m}$ soit additive et vérifie ${\displaystyle m(\emptyset )=0}$.

Quelques exemples

Outre l'exemple introductif, on définit la mesure de comptage sur ${\displaystyle X}$ par ${\displaystyle m(X)={\rm {card}}(X)}$. Il s'agit en fait du cardinal de ${\displaystyle X}$. On a bien évidemment ${\displaystyle {\rm {card}}(A\cup B)={\rm {card}}(A)+{\rm {card}}(B)}$ pour deux sous-parties disjointes ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$, et ${\displaystyle {\rm {card}}(\emptyset )=0}$. Avec les notations précédentes, la mesure de comptage est en fait ${\displaystyle m=m_{\mathbf {1} }}$, où ${\displaystyle \mathbf {1} (x)=1}$ est la fonction identiquement égale à 1.

La fonction identiquement nulle ${\displaystyle m(A)=0}$ constitue un exemple trivial de mesure, qui correspond à ${\displaystyle m_{\mathbf {0} }}$, la fonction identiquement nulle sur ${\displaystyle X}$.

Considérons désormais un contre-exemple. Posons ${\displaystyle X=\{1,\dots ,10\}}$, et on associe à ${\displaystyle A\subseteq X}$ la valeur ${\displaystyle m(A)=\max(x:\,x\in A)}$. Alors on a ${\displaystyle m(\{2,3\})=3}$, ${\displaystyle m(\{1,4\})=4}$, mais, bien que ces deux parties soient disjointes, ${\displaystyle m(\{2,3\}\cup \{1,4\})=m(\{1,2,3,4\})=4\neq 3+4.}$

Caractérisation

Tous les exemples de mesures présentées s'écrivent sous la forme ${\displaystyle m=m_{\mu }}$ pour une certaine fonction positive ${\displaystyle \mu }$. On a en fait la réciproque:

Théorème

Soit ${\displaystyle m}$ une mesure sur ${\displaystyle X}$. Alors il existe une fonction positive ${\displaystyle \mu }$ sur ${\displaystyle X}$ telle que ${\displaystyle m=m_{\mu }.}$

Posons ${\displaystyle \mu (x)=m(\{x\})}$. La fonction ${\displaystyle \mu }$ est bien définie sur ${\displaystyle X}$ et à valeur positive. De plus on a bien pour tout ensemble ${\displaystyle A}$ de ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle m(A)=\sum _{x\in A}\mu (x)}$, puisque ${\displaystyle A}$ est l'union disjointe des singletons le composant.