${\displaystyle f_{1}}$ est la fonction définie sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ par :

${\displaystyle f_{1}(x)={\begin{cases}x\sin {\frac {1}{x}},&{\mbox{si }}x\neq 0\\0,&{\mbox{si }}x=0\end{cases}}}$.

${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}}$ est sa courbe représentative dans un repère ${\displaystyle (O;\,{\vec {i}},\,{\vec {j}})}$

1°  Vérifier que ${\displaystyle f_{1}}$ est paire.

2°  Montrez que ${\displaystyle \lim _{x\to 0}f_{1}(x)=f_{1}(0)}$.

3°  Montrez que ${\displaystyle f_{1}}$ est dérivable sur ${\displaystyle ]0;\,+\infty [}$ mais que ${\displaystyle f_{1}}$ n'est pas dérivable en 0.

4°  Trouvez les points de ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}}$ situés sur les droites d'équations ${\displaystyle y=x}$ et ${\displaystyle y=-x}$. Déterminez les tangentes à ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}}$ en ces points.

5°  Trouvez graphiquement les solutions de l'équation ${\displaystyle \tan u=u}$. Déduisez-en les points en lesquels ${\displaystyle f_{1}}$ admet un extremum local.

6°  Donnez l'allure de ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}}$.

${\displaystyle f_{2}}$ est la fonction définie sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ par :

${\displaystyle f_{2}(x)={\begin{cases}x^{2}\sin {\frac {1}{x}},&{\mbox{si }}x\neq 0\\0,&{\mbox{si }}x=0\end{cases}}}$.

${\displaystyle {\mathcal {C}}_{2}}$ est sa courbe représentative dans un repère ${\displaystyle (O;\,{\vec {i}},\,{\vec {j}})}$

1°  Vérifier que ${\displaystyle f_{2}}$ est impaire.

2°  Montrez que ${\displaystyle f_{2}}$ est dérivable en tout point ${\displaystyle x\neq 0}$, calculez alors ${\displaystyle f_{2}'(x)}$, puis montrez que ${\displaystyle f_{2}}$ est dérivable en 0.

3°  Trouvez les points de ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{2}}$ situés sur les paraboles d'équations ${\displaystyle y=x^{2}}$ et ${\displaystyle y=-x^{2}}$, et déterminez les tangentes à ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{2}}$ en ces points.

Le but de cette question est d'exhiber une fonction ${\displaystyle f}$ dérivable dont le nombre dérivée en zéro est strictement positif, et telle qu'il n'existe pas d'intervalle contenant zéro sur lequel elle est croissante.

1°  ${\displaystyle f}$ est la fonction définie sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ par :

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {x}{2}}+x^{2}\sin {\frac {1}{x}},&{\mbox{si }}x\neq 0\\0,&{\mbox{si }}x=0\end{cases}}}$.

Calculer ${\displaystyle f'(x)}$ lorsque ${\displaystyle x\neq 0}$, et montrez que ${\displaystyle f}$ est dérivable en zéro; calculez ${\displaystyle f'(0)}$.

2°  Calculez ${\displaystyle f'({\frac {1}{n\pi }})}$ pour tout naturel ${\displaystyle n\geqslant 1}$.

Déduisez-en qu'il n'existe pas d'intervalle contenant zéro sur lequel ${\displaystyle f}$ est croissante.