L'abeille femelle a un père et une mère tandis que l'abeille mâle a une mère mais pas de père. On souhaite connaître le nombre ${\displaystyle u_{n}}$ d'ancêtres d'une abeille mâle ${\displaystyle M_{0}}$, présents à la n^ième génération la précédant.

Le schéma ci-dessous montre le calcul de ${\displaystyle u_{0},\,u_{1},\,u_{2},\,u_{3},\,u_{4}}$.

1°  Vérifier les résultats obtenus ci-dessus.

2°  Notons ${\displaystyle f_{n}}$ le nombre d'ancêtres femelles et ${\displaystyle m_{n}}$ le nombre d’ancêtres mâle à la n^ième génération qui nous intéresse.

Vérifier que pour tout naturel n :

${\displaystyle {\begin{cases}f_{n+1}=f_{n}+m_{n}\\m_{n+1}=f_{n}\end{cases}}}$

3°  Déduisez-en que pour tout naturel n :

${\displaystyle {\begin{cases}f_{n+2}=f_{n+1}+f_{n}\\m_{n+2}=m_{n+1}+m_{n}\\u_{n+2}=u_{n+1}+u_{n}\end{cases}}}$

La suite ${\displaystyle (u_{n})}$ est donc déterminée par :

${\displaystyle {\begin{cases}u_{0}=u_{1}=1\\u_{n+2}=u_{n+1}+u_{n}\end{cases}}}$

4°  On note (E) l'ensemble des suites définies par la donnée de ${\displaystyle u_{0}}$, de ${\displaystyle u_{1}}$, et de la relation ${\displaystyle u_{n+2}=u_{n+1}+u_{n}}$ pour tout naturel n.

a)  On cherche s'il existe des suites géométriques ${\displaystyle (r^{n})}$ appartement à (E).

Vérifier que les propositions (P₁) et (P₂) sont équivalentes :

• (P₁) : ${\displaystyle (r^{n})}$ appartient à (E).
• (P₂) : ${\displaystyle r}$ est une solution de l'équation ${\displaystyle X^{2}-X-1=0}$.

b)  Déduisez-en qu'il existe deux suites géométriques, et deux seulement, qui appartiennent à (E).

On notera ${\displaystyle (r_{1}^{n})}$ et ${\displaystyle (r_{2}^{n})}$ ces deux suites. Précisez la valeur de ${\displaystyle r_{1}}$ et celle de ${\displaystyle r_{2}}$.

c)  La suite ${\displaystyle (u_{n})}$ qui nous intéresse, appartient à (E). On cherche à écrire, pour tout naturel n,

${\displaystyle u_{n}=ar_{1}^{n}+br_{2}^{n}}$,

${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$ étant deux nombres fixes indépendants de n.

Montrez qu'il existe deux nombres ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$, et seulement deux, tels que :

${\displaystyle {\begin{cases}u_{0}=a+b\\u_{1}=ar_{1}+br_{2}\end{cases}}}$.

Déduisez-en que pour tout naturel n :

${\displaystyle u_{n}=ar_{1}^{n}+br_{2}^{n}}$

d)  Montrez que pour tout naturel n :

${\displaystyle u_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n+1}-{\frac {1}{\sqrt {5}}}\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n+1}}$

e)  Montrez que pour tout naturel n :

${\displaystyle u_{n}={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k}C_{n+1}^{k}5^{\frac {k-1}{2}}}$,

L'entier ${\displaystyle k}$ prenant toutes les valeurs impaires comprises entre ${\displaystyle 1}$ et ${\displaystyle n+1}$ (${\displaystyle k}$ impair, ${\displaystyle 1\leqslant k\leqslant n+1}$).

5°  Calculez ${\displaystyle f_{n}}$ et ${\displaystyle m_{n}}$.