${\displaystyle (u_{n})}$ est la suite définie par :

${\displaystyle {\begin{cases}u_{0}=0\\u_{n}=u_{n-1}+n(-1)^{n+1}\end{cases}}}$

pour tout naturel n non nul.

On définit alors les suites ${\displaystyle (v_{n})}$ et ${\displaystyle (w_{n})}$ respectivement par :

${\displaystyle {\begin{cases}v_{n}=u_{2n}\\w_{n}=u_{2n+1}\end{cases}}}$

pour tout naturel n.

1°  Prouvez que ${\displaystyle (v_{n})}$ et ${\displaystyle (w_{n})}$ sont des suites arithmétiques et que ${\displaystyle (u_{n})}$ n'est pas arithmétique.

Exprimez ${\displaystyle (v_{n})}$ et ${\displaystyle (w_{n})}$ en fonction de n.

2°  Exprimez ${\displaystyle (u_{2n-1})}$ en fonction de ${\displaystyle (u_{2n})}$

3°  On note (E) l'ensemble des points ${\displaystyle A_{n}}$ dont les coordonnées dans un repère orthonormal choisi sont ${\displaystyle (n;\,u_{n}),\,n\in \mathbb {N} }$.

a)  Montrez que (E) est inclus dans la réunion de deux droites d et d'.

Donnez les équations de d et d'.

b)  Déterminez l’ensemble ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ des points ${\displaystyle M}$ du plan tels que :

${\displaystyle ({\vec {MA_{0}}}+{\vec {MA_{1}}}+{\vec {MA_{2}}}).({\vec {MA_{3}}}+{\vec {MA_{4}}}+{\vec {MA_{5}}})=0}$.

${\displaystyle f}$ est la fonction définie par :

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{4}}(1-(2x+1)\cos \pi x)}$

et ${\displaystyle {\mathcal {C}}'}$ est sa courbe représentative dans le repère orthonormal choisi au 3° de la première partie.

1°  Montrez que l’ensemble (E) est inclus dans ${\displaystyle {\mathcal {C}}'}$.

Quel est, en tout point ${\displaystyle A_{n}}$ de (E), la tangente à ${\displaystyle {\mathcal {C}}'}$ ?

2°  Montrez que pour tout réel ${\displaystyle x\geqslant 0,\,-{\frac {1}{2}}x\leqslant f(x)\leqslant {\frac {1}{2}}x+{\frac {1}{2}}}$.

Interprétez graphiquement ce résultat.