1°  Pour tout naturel ${\displaystyle n\geqslant 2}$, on note ${\displaystyle Q_{n-2}}$ la fonction polynôme définie sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ par :

${\displaystyle Q_{n-2}(t)=1-t+t^{2}-t^{3}+\cdots +(-1)^{n-2}t^{n-2}}$.

a)  Montrez que pour tout réel ${\displaystyle t\neq -1}$.

${\displaystyle Q_{n-2}(t)={\frac {1-(-t)^{n-1}t^{n-1}}{1+t}}}$

b)  Déduisez-en que pour tout réel ${\displaystyle t\neq -1}$:

${\displaystyle {\frac {1}{1+t}}=1-t+t^{2}-t^{3}+\cdots +(-1)^{n-2}t^{n-2}+(-1)^{n-1}{\frac {t^{n-1}}{1+t}}}$

c)  Déduire de la question précédente, par intégration, que pour tout ${\displaystyle x\in [0;\,1]}$ :

${\displaystyle \ln(1+x)=P_{n-1}(x)+(-1)^{n-1}\int _{0}^{x}{\frac {t^{n-1}}{1+t}}\,\mathrm {d} t\qquad }$ [A]

où l'on a posé ${\displaystyle P_{n-1}(x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+\cdots +(-1)^{n-2}{\frac {x^{n-1}}{n-1}}}$

2°  On note ${\displaystyle f}$ la fonction définie sur ${\displaystyle ]0;\,1]}$ par ${\displaystyle f(0)=1}$ et ${\displaystyle f(x)={\frac {\ln(1+x)}{x}}}$ lorsque ${\displaystyle x\neq 0}$.

a)  Montrez que pour tout réel ${\displaystyle x>0,\,x-\ln(1+x)>0}$, et déduisez-en que pour tout ${\displaystyle x}$ dans ${\displaystyle [0;\,1],\,f(x)\leqslant 1}$.

b)  Montrez que pour tout naturel ${\displaystyle n}$ non nul,

${\displaystyle 0\leqslant \int _{0}^{\frac {1}{n}}f(x)\,\mathrm {d} x\leqslant {\frac {1}{n}}}$,

et déduisez-en que ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(\int _{0}^{\frac {1}{n}}f(x)\,\mathrm {d} x\right)=0}$

c)  Montrez que ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(\int _{\frac {1}{n}}^{1}f(x)\,\mathrm {d} x\right)=\int _{0}^{1}f(x)\,\mathrm {d} x}$

Retrouvez ce résultat en utilisant une primitive ${\displaystyle F}$ de ${\displaystyle f}$.

(Il est inutile de calculer ${\displaystyle F}$.)

3°  a)  Montrez que pour tout ${\displaystyle x}$ dans ${\displaystyle [0;\,1]}$,

${\displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {t^{n-1}}{1+t}}\,\mathrm {d} t\leqslant \int _{0}^{x}t^{n-1}\,\mathrm {d} t,\quad (n\geqslant 2)}$,

puis déduisez-en que ${\displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {t^{n-1}}{1+t}}\,\mathrm {d} t\leqslant {\frac {1}{n}}}$.

b)  En utilisant la relation [A] de la première question, montrez que pour tout ${\displaystyle x}$ dans ${\displaystyle ]0;\,1]}$,

${\displaystyle -{\frac {1}{nx}}\leqslant f(x)-{\frac {P_{n-1}(x)}{x}}\leqslant {\frac {1}{nx}}}$.

c)  Par intégration, montrez que :

${\displaystyle \left(\int _{\frac {1}{n}}^{1}f(x)\,\mathrm {d} x\right)+{\frac {1}{n}}\ln {\frac {1}{n}}+S_{n}\left({\frac {1}{n}}\right)\leqslant S_{n}(1)\leqslant \left(\int _{\frac {1}{n}}^{1}f(x)\,\mathrm {d} x\right)-{\frac {1}{n}}\ln {\frac {1}{n}}+S_{n}\left({\frac {1}{n}}\right)\qquad }$ [B],

dans laquelle on a posé :

${\displaystyle S_{n}(x)=x-{\frac {x^{2}}{2^{2}}}+{\frac {x^{3}}{3^{2}}}-\cdots +(-1)^{n-2}{\frac {x^{n-1}}{(n-1)^{2}}}\quad (n\geqslant 2)}$.

d)  Montrez que pour tout naturel ${\displaystyle p}$ et tout ${\displaystyle x}$ dans ${\displaystyle [0;\,1]}$,

${\displaystyle {\frac {x^{p}}{p^{2}}}\geqslant {\frac {x^{p+1}}{(p+1)^{2}}}}$

Déduisez-en que pour tout ${\displaystyle n\geqslant 2}$, tout ${\displaystyle x}$ dans ${\displaystyle [0;\,1]}$,

${\displaystyle S_{n}(x)\geqslant 0}$.

e)  Montrez que ${\displaystyle S_{n}(x)\leqslant x}$, et donc que ${\displaystyle 0\leqslant S_{n}(x)\leqslant x}$.

f)  Calculez ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}\left({\frac {1}{n}}\right)}$, puis déduisez-en que que :

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}(1)=\int _{0}^{1}f(x)\,\mathrm {d} x}$.

4°  a)  En regroupant convenablement les termes de la somme :

${\displaystyle S_{n}(1)=1-{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}-\cdots +(-1)^{n-2}{\frac {1}{(n-1)^{2}}}}$,

Montrez que pour tout ${\displaystyle n\geqslant 5}$:

${\displaystyle 1-{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}-{\frac {1}{4^{2}}}\leqslant S_{n}(1)\leqslant 1-{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}}$.

b)  Déduisez-en un encadrement de ${\displaystyle \int _{0}^{1}f(x)\,\mathrm {d} x}$.