La suite ${\displaystyle (u_{n})}$ est définie pour tout entier ${\displaystyle n\geqslant 1}$, par :

${\displaystyle u_{n}=\sum _{k=0}^{2n-1}{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}=1-{\frac {1}{2}}+\cdots +{\frac {1}{2n-1}}-{\frac {1}{2n}}}$.

${\displaystyle f}$ est la fonction définie sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ par :

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{2n-1}(-1)^{k}x^{k}=1-x+\cdots +x^{2n-2}-x^{2n-1}}$.

1°  Montrez que ${\displaystyle \int _{0}^{1}f(x)\,\mathrm {d} x=u_{n}}$.

2°  Vérifiez que lorsque ${\displaystyle x\neq -1,\,f(x)+{\frac {x^{2n}}{1+x}}={\frac {1}{1+x}}}$.

3°  Déduisez-en que ${\displaystyle u_{n}+\int _{0}^{1}{\frac {x^{2n}}{1+x}}\,\mathrm {d} x=\ln 2}$.

4°  Montrez que ${\displaystyle 0\leqslant \int _{0}^{1}{\frac {x^{2n}}{1+x}}\,\mathrm {d} x\leqslant {\frac {1}{2n+1}}}$.

et déduisez-en ${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }\int _{0}^{1}{\frac {x^{2n}}{1+x}}\,\mathrm {d} x}$.

5°  Calculez la limite de ${\displaystyle (u_{n})}$.

${\displaystyle F,\,G,\,H,}$ sont les fonctions définies sur ${\displaystyle [0;\,1]}$ par :

${\displaystyle F(x)=\ln(1+x),\qquad G(x)=x-F(x),\qquad H(x)=F(x)-x+x^{2}}$.

1°  Montrez que pour tout ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle [0;\,1],\,x-x^{2}\leqslant F(x)\leqslant x}$.

2°  Montrez que pour tout ${\displaystyle k\geqslant 0}$, tout entier ${\displaystyle n\geqslant 1}$,

${\displaystyle {\frac {1}{n+k}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\leqslant F\left({\frac {1}{n+k}}\right)\leqslant {\frac {1}{n+k}}}$

3°  ${\displaystyle (v_{n})}$ et ${\displaystyle (a_{n})}$ sont les suites définies par :

${\displaystyle v_{n}=F\left({\frac {1}{n}}\right)+F\left({\frac {1}{n+1}}\right)+\cdots +F\left({\frac {1}{2n}}\right)}$ pour tout entier.

${\displaystyle n\geqslant 1}$ et ${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n+1}}+\cdots +{\frac {1}{2n}}}$ pour tout entier ${\displaystyle n\geqslant 1}$.

Montrez que pour tout entier ${\displaystyle n\geqslant 1,\,\left(1-{\frac {1}{n}}\right)a_{n}\leqslant v_{n}\leqslant a_{n}}$.

4°  ${\displaystyle (b_{n})}$ est la suite définie pour tout entier ${\displaystyle n\geqslant 1}$ par :

${\displaystyle b_{n}=a_{n}-{\frac {1}{n}}}$.

Calculer ${\displaystyle b_{n}-b_{n-1}}$ lorsque ${\displaystyle n\geqslant 2}$, puis comparez ${\displaystyle b_{n}}$ et ${\displaystyle u_{n}}$ lorsque ${\displaystyle n\geqslant 1}$.

5°  Calculez la limite de la suite ${\displaystyle (v_{n})}$

Dans cette partie, on admettra que pour tout ${\displaystyle x\geqslant 0}$, on a :

${\displaystyle x-{\frac {x^{3}}{6}}\leqslant \sin x\leqslant x}$.

${\displaystyle (w_{n})}$ est la suite définie pour tout entier ${\displaystyle n\geqslant 1}$ par :

${\displaystyle w_{n}=\sin {\frac {1}{n}}+\sin {\frac {1}{1+n}}+\cdots +\sin {\frac {1}{2n}}}$.

En utilisant un encadrement de la fonction sinus par des fonctions polynômes, calculez la limite de la suite ${\displaystyle (w_{n})}$.