${\displaystyle f}$ est la fonction définie par :

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}+\ln \left({\frac {x}{x+1}}\right)}$

1°  a)  Prouvez que ${\displaystyle f}$ est définie sur l'intervalle ${\displaystyle ]0;\,+\infty [}$.

b)  Étudiez la limite de ${\displaystyle f}$ en 0.

c)  Étudiez la limite de ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle +\infty }$.

2°  Étudiez le sens de variation de ${\displaystyle f}$, puis tracez sa courbe dans un repère orthonormal (unité graphique : 3 cm).

3°  ${\displaystyle k}$ est un réel strictement positif.

Calculez ${\displaystyle \int _{1}^{k}\ln \left({\frac {x}{x+1}}\right)\,\mathrm {d} x}$, puis ${\displaystyle \int _{1}^{k}f(x)\,\mathrm {d} x}$.

Dans cette partie, ${\displaystyle m}$ est un réel strictement positif.

1°  Montrez que :

${\displaystyle {\frac {1}{m+1}}\leqslant \int _{m}^{m+1}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}\leqslant {\frac {1}{m}}}$

2°  Montrez que :

${\displaystyle \int _{m}^{m+1}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}={\frac {1}{m}}-f(m)}$,

et déduisez-en que :

${\displaystyle 0\leqslant f(m)\leqslant {\frac {1}{m(m+1)}}}$.

1°  Montrez qu'il existe deux réels ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$ tels que pour tout réel ${\displaystyle x}$ :

${\displaystyle x\neq 0,\,x\neq -1,\,{\frac {1}{x(x+1)}}={\frac {a}{x}}+{\frac {b}{x+1}}}$.

2°  Pour tout naturel ${\displaystyle n\geqslant 1}$, on pose :

${\displaystyle S_{n}={\frac {1}{n(n+1)}}+{\frac {1}{(n+1)(n+2)}}+\cdots +{\frac {1}{2n(2n+1)}}}$.

a)  En utilisant la question 1°, simplifiez l'expression de ${\displaystyle S_{n}}$.

b)  Montrez que la suite ${\displaystyle (S_{n})}$ est convergente et précisez sa limite.

3°  a)  Montrer que :

${\displaystyle 0\leqslant f(n)+f(n+1)+\cdots +f(2n)\leqslant S_{n}}$

b)  Trouvez la limite de la suite ${\displaystyle (u_{n})}$ définie par :

${\displaystyle u_{n}=f(n)+f(n+1)+\cdots +f(2n)}$

4°  ${\displaystyle v_{n}}$ est la suite définie par :

${\displaystyle v_{n}={\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n+1}}+\cdots +{\frac {1}{2n}}}$.

a)  Vérifier que :

${\displaystyle f(n)+f(n+1)+\cdots +f(2n)=v_{n}-\ln 2-\ln \left(1+{\frac {1}{2n}}\right)}$

b)  Déduisez-en que ${\displaystyle (v_{n})}$ est convergente et précisez sa limite.