${\displaystyle f}$ est la fonction définie sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ par :

${\displaystyle f(x)=e^{x}-x-3}$

On note ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ sa courbe représentative.

1°  Étudiez la fonction ${\displaystyle f}$. Précisez, s'il en existe, les asymptotes à ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ et la position de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ par rapport à ses asymptotes.

2°  Montrez que l'équation ${\displaystyle f(x)=0}$ a une solution et une seule dans l'intervalle ${\displaystyle [0;\,+\infty [}$. On désigne par ${\displaystyle l}$ cette solution.

Encadrez ${\displaystyle l}$ par deux entiers.

${\displaystyle g}$ est la fonction définie par :

${\displaystyle g(x)=\ln(x+3)}$

1°  Étudiez la fonction ${\displaystyle g}$ et tracez sa courbe représentative ${\displaystyle \Gamma }$.

2°  a)  Montrez que l'équation ${\displaystyle g(x)=x}$ admet deux solutions, l'une ${\displaystyle \alpha }$ dans ${\displaystyle ]-3;\,-2[}$, l'autre ${\displaystyle \beta }$ dans ${\displaystyle ]0;\,+\infty [}$.

b)  Comparez ${\displaystyle \beta }$ et ${\displaystyle l}$.

c)  Comparez ${\displaystyle g(x)}$ et ${\displaystyle x}$; discutez.

3°  ${\displaystyle x_{1}}$ et ${\displaystyle x_{2}}$ sont deux réels tels que ${\displaystyle \alpha <x_{1}<\beta <x_{2}}$.

Démontrez que ${\displaystyle \alpha <g(x_{1})<\beta <g(x_{2})}$.

4°  a)  Vérifiez qu'il existe bien une suite ${\displaystyle (u_{n})}$ telle que :

${\displaystyle {\begin{cases}u_{0}=1\\u_{n+1}=\ln(u_{n}+3)\end{cases}}}$

pour tout naturel ${\displaystyle n}$.

Étudiez le sens de variation de cette suite.

b)  Vérifiez qu'il existe bien une suite ${\displaystyle v_{n}}$ telle que :

${\displaystyle {\begin{cases}v_{0}=2\\v_{n+1}=\ln(v_{n}+3)\end{cases}}}$

pour tout naturel ${\displaystyle n}$.

Étudiez le sens de variation de cette suite.

c)  Démontrez que pout tout naturel ${\displaystyle n,\,1\leqslant u_{n}<\beta <v_{n}\leqslant 2}$.

d)  Démontrez que pour tout téel ${\displaystyle x}$ de l'intervalle ${\displaystyle [1;\,2]}$,

${\displaystyle {\frac {1}{5}}\leqslant g'(x)\leqslant {\frac {1}{4}}}$

Déduisez-en que pour tout naturel ${\displaystyle n}$,

${\displaystyle 0<g(v_{n})-g(u_{n})\leqslant {\frac {1}{4}}(v_{n}-u_{n})}$,

puis que ${\displaystyle 0<v_{n}-u_{n}\leqslant \left({\frac {1}{4}}\right)^{n}}$

e)  Trouvez un entier ${\displaystyle n}$ tel que ${\displaystyle u_{n}}$ soit une valeur approchée de ${\displaystyle l}$ à ${\displaystyle 10^{-2}}$ près.

Calculez alors ${\displaystyle u_{n}}$ et une valeur approchée de ${\displaystyle l}$.