1°  On note ${\displaystyle c}$ et ${\displaystyle s}$ les fonctions définies sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ par :

${\displaystyle \qquad \qquad c(x)={\frac {1}{2}}(\mathrm {e} ^{x}+\mathrm {e} ^{-x})\qquad s(x)={\frac {1}{2}}(\mathrm {e} ^{x}-\mathrm {e} ^{-x})}$

a)  Démontrez que ${\displaystyle c}$ est paire, que ${\displaystyle s}$ est impaire, puis que :

${\displaystyle c^{2}(x)-s^{2}(x)=1}$.

b)  Étudiez chacune de ce fonctions et tracez leurs courbes représentatives dans un repère orthonormal.

De cette étude, déduisez que :

- pour tout ${\displaystyle x>0}$, ${\displaystyle c(x)>1}$ et ${\displaystyle c(0)=1}$ ;

- pour tout ${\displaystyle x>0}$, ${\displaystyle s(x)>0}$ et ${\displaystyle s(0)=0}$ ;

- pour tout réel ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle c'(x)=s(x)}$ et ${\displaystyle s'(x)=c(x)}$.

Précisez les tangentes aux points d'abscisse zéro.

c)  On note ${\displaystyle t}$ la fonction définie par :

${\displaystyle t(x)={\frac {s(x)}{c(x)}}}$.

Étudiez cette fonction et tracez sa courbe représentative dans un repère orthonormal.

Déduisez de cette étude que :

- pour tout réel ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle -1<t(x)<1}$ ;

- pour tout réel ${\displaystyle x>0}$, ${\displaystyle t(x)>0}$ et ${\displaystyle t(0)=0}$.

2°  On note ${\displaystyle u}$ la fonction définie par :

${\displaystyle \qquad \qquad \qquad u(x)={\frac {\ln c(x)}{x}}}$

a)  Quel est l'ensemble de définition de ${\displaystyle u}$ ? Démontrer que ${\displaystyle u}$ est impaire.

b)  Démontrer que pour tout ${\displaystyle x>0}$, ${\displaystyle u(x)>0}$ ; déduisez-en que pour tout ${\displaystyle x<0}$, ${\displaystyle u(x)<0}$.

c)  On étudie la limite en zéro de la fonction ${\displaystyle u}$ ; observez que pour tout ${\displaystyle x}$ non nul, on peut écrire ${\displaystyle u(x)={\frac {v(x)-v(0)}{x-0}}}$, ${\displaystyle v}$ étant une fonction à préciser.

Expliquez alors pourquoi ${\displaystyle u}$ a une limite en zéro. Quelle est-elle ?

On pose alors ${\displaystyle u(0)=0}$. Dans toute la suite, ${\displaystyle u}$ désignera la fonction ainsi prolongée sur tout ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

d)  ${\displaystyle x}$ est un réel strictement positif.

Appliquez l'inégalité des accroissements finis à la fonction ${\displaystyle v}$ entre les réels ${\displaystyle 0}$ et ${\displaystyle x}$ (la fonction ${\displaystyle v}$ a été définie en c)).

Démontrez que pour tout réel ${\displaystyle x>0}$, ${\displaystyle 0<u(x)<1}$.

Déduisez-en que pour tout réel ${\displaystyle x<0}$, ${\displaystyle -1<u(x)<0}$.

3°  On considère la fonction ${\displaystyle f}$ définie sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ par :

${\displaystyle {\begin{cases}f(x)=x\left[c(x)\right]^{\frac {1}{x}},&{\mbox{pour }}x\neq 0\\f(0)=0\end{cases}}}$

a)  Vérifier que pour tout réel ${\displaystyle x,\,f(x)=xe^{u(x)}}$

Démontrez que :

- pour tout réel ${\displaystyle x>0}$, ${\displaystyle f(x)>0}$ et ${\displaystyle f(x)>x}$ ;

- pour tout réel ${\displaystyle x<0}$, ${\displaystyle f(x)<0}$.

Calculez ${\displaystyle f(1)}$ et ${\displaystyle f(-1)}$, et démontrez que la fonction ${\displaystyle f}$ n'est ni paire, ni impaire.

b)  Démontrez que :

- pour tout réel ${\displaystyle x>0}$, ${\displaystyle x<f(x)<\mathrm {e} x}$ ;

- pour tout réel ${\displaystyle x<0}$, ${\displaystyle x<f(x)<{\frac {x}{\mathrm {e} }}}$.

c)  Déduisez de ces inégalités que :

${\displaystyle \qquad \qquad \qquad \lim _{+\infty }f=+\infty }$ et ${\displaystyle \lim _{-\infty }f=-\infty }$.

4°  En utilisant la définition d'un nombre dérivé, montrez que ${\displaystyle f}$ est dérivable en zéro et que ${\displaystyle f'(0)=1}$.

Montrez que pour ${\displaystyle x}$ non nul, ${\displaystyle f'(x)=\mathrm {e} ^{u(x)}\left(1+t(x)-u(x)\right)}$.