${\displaystyle f}$ est la fonction définie sur l'intervalle ${\displaystyle I=]0;\,+\infty [}$ par :

${\displaystyle f(x)=\ln \left(1+{\frac {1}{x}}\right)-{\frac {1}{1+x}}}$

1°  Étudiez la fonction ${\displaystyle f}$.

2°  Déduisez-en que pour tout réel ${\displaystyle t>1}$,

${\displaystyle \int _{1}^{t}x\ln \left(1+{\frac {1}{x}}\right)\,\mathrm {d} x\geqslant \int _{1}^{t}{\frac {x}{1+x}}\,\mathrm {d} x\qquad [1]}$

3°  ${\displaystyle g}$ est la fonction définie sur ${\displaystyle I}$ par

${\displaystyle g(x)=x\ln \left(1+{\frac {1}{x}}\right)}$.

a)  Calculez ${\displaystyle g'(x)}$ et déduisez-en une primitive de ${\displaystyle f}$ sur ${\displaystyle I}$.

b)  Calculez l'aire ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ du domaine limité par la courbe représentant ${\displaystyle f}$, l'axe des abscisses, et les droites d'équations ${\displaystyle x=\alpha ,\,x=\beta ,\,0<\alpha <\beta }$.

4°  Pour tout naturel ${\displaystyle n\geqslant 1}$, on pose :

${\displaystyle S_{n}=1\ln \left(1+{\frac {1}{1}}\right)+2\ln \left(1+{\frac {1}{2}}\right)+\cdots +n\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)}$.

Montrez que pour tout ${\displaystyle n\geqslant 1}$,

${\displaystyle S_{n}\geqslant \int _{1}^{n}x\ln \left(1+{\frac {1}{x}}\right)\,\mathrm {d} x\qquad [2]}$

1°  Montrez que pour tout ${\displaystyle a>0,\,\ln a\leqslant a-1}$

2°  On donne ${\displaystyle n}$ réels strictement positifs ${\displaystyle x_{1},\,x_{2},\,\cdots ,\,x_{n}}$.

Montrer que :

${\displaystyle {\frac {1}{n}}(\ln x_{1}+\ln x_{2}+\cdots +\ln x_{n})\leqslant \ln \left({\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\right)\qquad [3]}$.

3°  Montrez que l'intégrale ${\displaystyle [3]}$ est équivalente à :

${\displaystyle x_{1}x_{2}\cdots x_{n}\leqslant \left({\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\right)^{n}}$

${\displaystyle (u_{n})}$ et ${\displaystyle (v_{n})}$ sont les suites respectivement définies par :

${\displaystyle u_{n}=\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\qquad v_{n}={\frac {u_{1}+u_{2}+\cdots +u_{n}}{n}}\qquad n\geqslant 1}$.

1°  Montrez que les suites ${\displaystyle (\ln u_{n})}$ et ${\displaystyle (u_{n})}$ sont croissantes, convergentes, et que leurs limites respectives sont 1 et e.

Déduisez-en que pour tout naturel ${\displaystyle n\geqslant 1,\,v_{n}\leqslant e}$.

2°  En utilisant les inégalités ${\displaystyle [1],\,[2]}$ et ${\displaystyle [3],\,}$ montrez que :

pour tout ${\displaystyle n\geqslant 1,\,\ln(v_{n})\geqslant {\frac {1}{n}}\int _{1}^{n}{\frac {x}{1+x}}\,\mathrm {d} x}$.

3°  Calculez l'intégrale :

${\displaystyle w_{n}=\int _{1}^{n}{\frac {x}{1+x}}\,\mathrm {d} x}$.

4°  Montrez que pour tout ${\displaystyle n\geqslant 1,\,{\frac {1}{n}}w_{n}\leqslant \ln v_{n}\leqslant 1}$, puis déduisez-en que ${\displaystyle (v_{n})}$ est convergente et donnez sa limite.