1°  ${\displaystyle f}$ est la fonction définie par :

${\displaystyle f(x)=\ln(\ln |x|)}$

a)  Calcul ${\displaystyle f(e^{k}),\,k}$ réel arbitraire strictement positif.

b)  Étudiez la fonction ${\displaystyle f}$ (ensemble de définition, parité, sens de variation, limites aux bornes de l'ensemble de définition).

c)  Tracez la courbe ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ représentant ${\displaystyle f}$ dans un repère orthonormal ${\displaystyle (O;\,{\vec {i}},\,{\vec {j}})}$ dont l'unité graphique de longueur est 2 cm.

Précisez, s'ils existent, les points d'interception de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ avec les axes de coordonnées, et les tangentes à ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ en ces points.

2°  ${\displaystyle g}$ et ${\displaystyle h}$ sont respectivement les fonctions définies par :

${\displaystyle {\begin{cases}g(x)=\ln(\ln x)\\h(x)=\ln(|\ln |x||)\end{cases}}}$

Précisez leurs ensembles de définition, et tracez, sans autres calculs, leurs représentations graphiques dans ${\displaystyle (O;\,{\vec {i}},\,{\vec {j}})}$.

${\displaystyle \varphi }$ est la fonction définie par :

${\displaystyle \varphi (x)={\frac {1}{x\ln |x|}}}$.

1°  Calculez ${\displaystyle \varphi (e^{k}),\,k}$ réel arbitraire non nul.

2°  Étudiez ${\displaystyle \varphi }$ et tracez la courbe ${\displaystyle \Gamma }$ qui représente cette fonction dans ${\displaystyle (O;\,{\vec {i}},\,{\vec {j}})}$.

3°  a)  Calculez en cm² l'aire ${\displaystyle A(\alpha )}$ du domaine limité par ${\displaystyle \Gamma }$, l'axe des abscisses et les droites d'équations ${\displaystyle x=\alpha ,\,(\alpha >1),\,x=e}$.

b)  Étudiez la limite de ${\displaystyle \alpha \mapsto A(\alpha )}$ en 1 et en ${\displaystyle +\infty }$.

4°  a)  Déterminez graphiquement l'ensemble des points d'intersection de ${\displaystyle \Gamma }$ avec la première bissectrice des axes de coordonnées (cette bissectrice est la droite d'équation ${\displaystyle y=x}$).

b)  Montrez que ${\displaystyle \Gamma }$ et la seconde bissectrice (droite d'équation ${\displaystyle y=-x}$) sont sans point commun.

On considère la fonction ${\displaystyle t}$ définie sur une partie de ${\displaystyle \mathbb {C} }$ par :

${\displaystyle t(z)={\frac {1}{z\ln |z|}}\qquad }$ (${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ et ${\displaystyle |z|}$ est le module de ${\displaystyle z}$).

1°  Quel est l'ensemble de définition de ${\displaystyle t}$ ?

2°  Le plan est muni d'un repère orthonormal direct ${\displaystyle (O';\,{\vec {u}},\,{\vec {v}})}$.

Exprimez le module et un argument de ${\displaystyle z'=t(z)}$ en fonction de ceux de ${\displaystyle z}$. On notera ${\displaystyle z=re^{i\theta },\,r>0}$.

3°  On associe à ${\displaystyle t}$ l'application ${\displaystyle T}$ du plan dans lui-même qui au point ${\displaystyle M(z)}$ fait correspondre le point ${\displaystyle M'\left(t(z)\right)}$.

Déterminez les points fixes de ${\displaystyle T}$, c'est-à-dire les point ${\displaystyle M}$ tel que ${\displaystyle T(M)=M}$.

4°  Déterminez les points ${\displaystyle M}$ tels que ${\displaystyle O',\,M}$ et ${\displaystyle T(M)}$ soient alignés. (${\displaystyle O'}$ est l’origine du repère.)

5°  Quel est l'image de ${\displaystyle T}$ d'un cercle de centre ${\displaystyle O'}$ et de rayon ${\displaystyle r,\,r>0,\,r\neq 1}$ ?