${\displaystyle f}$ est la fonction définie par : ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {x}{x-\ln x}},&{\mbox{si }}x\neq 0\\0,&{\mbox{si }}x=0\end{cases}}}$.

1°  Montrez que ${\displaystyle f}$ est définie sur l'intervalle ${\displaystyle [0;\,+\infty [}$ et que ${\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x)=f(0)=0}$.

2°  Étudiez la fonction ${\displaystyle f}$, tracez la courbe représentant ${\displaystyle f}$ dans un repère orthonormal. Précisez la tangente à la courbe au point O, origine du repère.

Le but de cette partie est d'étudier la primitive de ${\displaystyle f}$ sur ${\displaystyle [0;\,+\infty [}$ qui s'annule en 1. On note ${\displaystyle F}$ cette primitive.

1°  Écrivez ${\displaystyle F(x)}$ sous forme d'une intégrale.

2°  Déterminez le signe de ${\displaystyle F(x)}$ selon les valeurs de ${\displaystyle x}$.

3°  Étudiez le sens de variation de ${\displaystyle F}$.

4°  Étudiez la limite de ${\displaystyle F}$ en zéro.

a)  Justifiez que ${\displaystyle \lim _{x\to 0}F(x)=F(0)}$

b)  Justifiez le résultat suivant : pour tout ${\displaystyle t}$ de ${\displaystyle ]0;\,1],\,f(t)\leqslant t}$.

c)  Déduisez-en un encadrement de ${\displaystyle F}$ sur ${\displaystyle ]0;\,1]}$.

d)  Montrez alors que ${\displaystyle F(0)}$ est compris entre ${\displaystyle -{\frac {1}{2}}}$ et ${\displaystyle 0}$.

5°  Étude de la limite de ${\displaystyle F}$ en ${\displaystyle +\infty }$.

Montrez que pour tout ${\displaystyle x\geqslant 1,\,F(x)\geqslant x}$, et déduisez-en la limite de ${\displaystyle F}$ en ${\displaystyle +\infty }$.

6°  Le bur de cette question est d'encadrer la fonction ${\displaystyle F}$ par deux fonctions usuelles sur ${\displaystyle [1;\,1]}$

a)  Calculez ${\displaystyle \int _{1}^{x}(\ln t+1)\,\mathrm {d} t}$ lorsque ${\displaystyle x>0}$.

Montrez que pour tout ${\displaystyle t>1,\,{\frac {t}{t-\ln t}}\leqslant 1+\ln t}$.

Déduisez-en que pour tout ${\displaystyle x\geqslant 1,\,F(x)\leqslant x\ln x}$.

b)  Calculez ${\displaystyle \int _{1}^{x}\left(1+{\frac {\ln t}{t}}\right)\,\mathrm {d} t}$ lorsque ${\displaystyle x>0}$.

Montrez que pour tout ${\displaystyle x\geqslant 1,\,x+{\frac {1}{2}}(\ln x)^{2}-1\leqslant F(x)}$.

c)  On note ${\displaystyle a(x)}$ l'amplitude de cet encadrement de ${\displaystyle F(x)}$.

Étudiez les variations de ${\displaystyle a(x)}$ et commentez.