1°  Justifiez le résultat suivant :

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1}$.

2°  

a)  Déduisez-en que:

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left[x\ln \left(1+{\frac {1}{x}}\right)\right]=1}$.

b)  Étudiez la limite en ${\displaystyle +\infty }$ de la fonction ${\displaystyle x\mapsto \left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}}$.

Pour tout naturel ${\displaystyle n}$, on note ${\displaystyle f_{n}}$ la fonction définie sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ par ${\displaystyle f_{n}(x)=x^{n}(1-x)}$.

1°  a)  Étudiez le sens de variation de ${\displaystyle f_{n}}$.

b)  Prouvez que selon la parité de ${\displaystyle n}$, l'équation ${\displaystyle f_{n}(x)=1}$, ou bien a une solution et une seule dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$, ou bien n'a pas de solution.

2°  Montrez que, sauf pour certaines valeurs particulières de ${\displaystyle n}$, les courbes représentatives des fonctions ${\displaystyle f_{n}}$ ont deux points communs et ont même tangente en chacun de ces points.

On note ${\displaystyle g_{n}}$ la restriction de ${\displaystyle f_{n}}$ à l'intervalle ${\displaystyle [0;\,1]}$.

Ainsi, pour tout ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle [0;\,1],\,g_{n}(x)=x^{n}(1-x)}$

On note ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}}$ la courbe représentative de ${\displaystyle g_{n}}$ relativement à un repère orthonormal ${\displaystyle (O;\,{\vec {i}},\,{\vec {j}})}$.

1°  Montrez que, sauf pour une valeur de ${\displaystyle n,\,g_{n}}$ possède un maximum ${\displaystyle M_{n}=\left({\frac {1}{n+1}}\right){\frac {1}{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}}}$

2°  Tracez ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{0},\,{\mathcal {C}}_{1},\,{\mathcal {C}}_{2},}$ dans le repère ${\displaystyle (O;\,{\vec {i}},\,{\vec {j}})}$. Donnez l'allure de ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}}$ pour ${\displaystyle n>2}$.

Placez ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{n+1}}$ par rapport à ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}}$ (position relative des points de même abscisse et des deux points représentatifs du maximum).

3°  Calculez successivement :

a)  ${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }M_{n}}$.

b)  ${\displaystyle I_{n}=\int _{0}^{1}g_{n}(x)}$.

c)  ${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }I_{n}}$.

Pouvait-on prévoir ce dernier résultat à partit d'un encadrement de ${\displaystyle g_{n}}$ ?

4°  Pour tout ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle [0;\,1]}$ et pour tout naturel ${\displaystyle n}$, on pose :

${\displaystyle S_{n}(x)=g_{0}(x)+g_{1}(x)+\cdots +g_{n}(x)=\sum _{i=0}^{n}g_{i}(x)}$

et ${\displaystyle J_{n}=\int _{0}^{1}S_{n}(x)}$.

a)  Calculez ${\displaystyle S_{n}(x)}$, puis :

• ${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }S_{n}(x)}$
• ${\displaystyle J_{n}}$
• ${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }J_{n}}$

b)  Exprimer ${\displaystyle J_{n}}$ en fonction de ${\displaystyle I_{0},\,I_{1},\cdots ,\,I_{n}}$.

Déduisez-en la valeur de la somme :

${\displaystyle s_{n}={\frac {1}{1\times 2}}+{\frac {1}{2\times 3}}+\cdots +{\frac {1}{(n+1)(n+2)}}}$.

Calculez ${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }s_{n}}$.

c)  Comparez ${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }\int _{0}^{1}S_{n}(x)\,\mathrm {d} x}$ et ${\displaystyle \int _{0}^{1}\left(\lim _{n\to +\infty }S_{n}(x)\right)\,\mathrm {d} x}$.