${\displaystyle f}$ est la fonction définie sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ par :

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}}$

Le but du problème est l'étude de la primitive de ${\displaystyle f}$ sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ qui s'annule en zéro.

On notera ${\displaystyle F}$ cette primitive.

1°  Étudier la fonction ${\displaystyle f}$ et représentez-la graphiquement dans un repère orthonormal ${\displaystyle (O;\,{\vec {i}},\,{\vec {j}})}$.

2°  Écrivez ${\displaystyle F(x)}$ sous forme d'une intégrale.

Quel est le sens de variation de ${\displaystyle F}$ ? ${\displaystyle F}$ est-elle paire ? impaire ?

Justifier vos réponses.

3°  a)  Vérifier que pour tout réel ${\displaystyle t}$ de l'intervalle ${\displaystyle [1;\,+\infty [}$,

${\displaystyle {\frac {1}{1+t^{2}}}\leqslant {\frac {1}{t^{2}}}}$,

et déduisez-en que pour tout réel ${\displaystyle x\geqslant 1}$,

${\displaystyle \int _{1}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t\leqslant 1-{\frac {1}{x}}}$

b)  Montrez que :

${\displaystyle \int _{0}^{1}f(t)\,\mathrm {d} t\leqslant 1}$ et que ${\displaystyle F(x)\leqslant x}$ pour tout réel ${\displaystyle x\geqslant 0}$.

c)  Montrer que pour tout réel ${\displaystyle x\geqslant 0,\,F(x)\leqslant 2}$.

d)  On admet le théorème suivant : toute fonction croissante et majorée sur un intervalle I, a une limite finie ou infinie aux extrémité de I.

En utilisant ce théorème, vérifiez que ${\displaystyle F}$ a une limite en ${\displaystyle +\infty }$.

Que pouvez-vous dire de cette limite ?

1°  a)  Montrez que la fonction tangente restreinte à ${\displaystyle \left[0;\,{\frac {\pi }{2}}\right[}$ est une bijection de ${\displaystyle \left[0;\,{\frac {\pi }{2}}\right[}$ sur ${\displaystyle [0;\,+\infty [}$. On note ${\displaystyle v}$ cette restriction et ${\displaystyle v^{-1}}$ la bijection réciproque.

b)  On pose ${\displaystyle w=F\circ v}$.

Prouvez que ${\displaystyle w}$ est dérivable sur ${\displaystyle \left[0;\,{\frac {\pi }{2}}\right[}$ et calculez ${\displaystyle w'(x)}$.

Déduisez-en qu'il existe un nombre ${\displaystyle k}$ tel que :

Pour tout ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle \left[0;\,{\frac {\pi }{2}}\right[,\,w(x)=x+k}$.

c)  Calculez ${\displaystyle w(0)}$ et déduisez-en la valeur de ${\displaystyle k}$.

d)  Déduisez de cette étude que pour tout ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle \left[0;\,{\frac {\pi }{2}}\right[,\,F\left(v(x)\right)=x}$,

puis que pour tout ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle [0;\,+\infty [,\,v^{-1}(x)=F(x)}$.

Précisez alors la limite de ${\displaystyle F}$ en ${\displaystyle +\infty }$.

2°  Tracez la représentation graphique de ${\displaystyle F}$ et celle de ${\displaystyle v}$ dans le même repère orthonormal.