1°  ${\displaystyle g}$ est la fonction définie sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ par ${\displaystyle g(x)=x(x+2-e)e^{x}}$.

Montrez que ${\displaystyle \int _{0}^{1}g(x)\,\mathrm {d} x=0}$

2°  Pour tout réel ${\displaystyle t}$, on considère la fonction ${\displaystyle f_{t}}$, définie sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ par :

${\displaystyle f_{t}(x)=(x-t)e^{\frac {x}{2}}}$.

E est l'ensemble des couples ${\displaystyle (t_{1};\,t_{2})}$ de réels tels que :

${\displaystyle \int _{0}^{1}f_{t_{1}}(x)f_{t_{2}}(x)\,\mathrm {d} x=0}$.

a)  Prouvez que E n'est pas vide.

b)  Démontrez qu'un couple ${\displaystyle (t_{1};\,t_{2})}$ appartient à E si et seulement si ${\displaystyle (e-1)t_{1}t_{2}-(t_{1}+t_{2})+e-2=0}$

Écrivez cette condition sous la forme :

${\displaystyle (t_{1}-\alpha )(t_{2}-\alpha )=-k^{2}\qquad }$[1]

${\displaystyle \alpha }$ et ${\displaystyle k}$ étant des réels que vous calculerez. (On rappelle que ${\displaystyle 2,7<e<2,8}$.)

c)  Par des considérations sur les aires, montrez que lorsque ${\displaystyle (t_{1};\,t_{2})}$ appartient à E, la fonction ${\displaystyle x\mapsto f_{t_{1}}(x)f_{t_{2}}(x)}$ ne garde pas un signe constant;

déduisez-en que l’un au moins des deux réels ${\displaystyle t_{1}}$ ou ${\displaystyle t_{2}}$ appartient à ${\displaystyle [0;\,1]}$.

3°  On considère un repère orthonormal ${\displaystyle (O;\,{\vec {i}},\,{\vec {j}})}$ et on désigne par ${\displaystyle A_{t}}$ le point de coordonnées ${\displaystyle (t;\,0)}$. Il est conseillé de faire des figures pour traiter cette question.

a)  Démontrez, en utilisant l'égalité [1], qu'il existe deux points du plan, ${\displaystyle I}$ et ${\displaystyle J}$, tels que : ${\displaystyle (t_{1};\,t_{2})}$ appartient à E si et seulement si ${\displaystyle {\vec {IA_{t_{1}}}}.{\vec {IA_{t_{2}}}}={\vec {JA_{t_{1}}}}.{\vec {JA_{t_{2}}}}=0}$.

b)  Vérifier que ${\displaystyle (t_{1};\,t_{2})}$ appartient à E si et seulement si le cercle de diamètre ${\displaystyle [A_{t_{1}}A_{t_{2}}]}$ passe par ${\displaystyle I}$ et ${\displaystyle J}$.

c)  Calculez, à l'aide d'une remarque géométrique simple, le minimum de ${\displaystyle |t_{2}-t_{1}|}$ quand ${\displaystyle (t_{1};\,t_{2})}$ décrit E.

d)  Déduisez du 3°b), par une interprétation géométrique de 2°c), que ${\displaystyle I}$ et ${\displaystyle J}$ appartiennent au disque de diamètre ${\displaystyle [A_{0}A_{1}]}$.