On note ${\displaystyle f_{0}}$ la fonction définie sur ${\displaystyle [0;\,+\infty [}$ par ${\displaystyle f_{0}(x)=e^{-x}}$, et pour tout réel ${\displaystyle \alpha >0}$, on note ${\displaystyle f_{\alpha }}$ la fonction définie sur ${\displaystyle [0;\,+\infty [}$ par ${\displaystyle f_{\alpha }(x)=x^{\alpha }e^{-x}}$ lorsque ${\displaystyle x>0}$ et ${\displaystyle f_{\alpha }(0)=0}$.

On note ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\alpha }}$ avec ${\displaystyle \alpha \geqslant 0}$, la courbe représentant ${\displaystyle f_{\alpha }}$ dans un repère orthonormal choisi (unité graphique de longueur : 5 cm).

1°  Étudiez les fonctions ${\displaystyle f_{0}}$ et ${\displaystyle f_{1}}$, puis tracez ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}}$ et ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}}$ après avoir précisé la position de ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}}$ par rapport à ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}}$.

2°  a)  On suppose ${\displaystyle \alpha >0}$ et ${\displaystyle \alpha \neq 1}$. Montrez que :

${\displaystyle \lim _{x\to 0}f_{\alpha }(x)=f_{\alpha }(0)=0}$

et que ${\displaystyle f_{\alpha }}$ est dérivable en zéro lorsque ${\displaystyle \alpha <1}$.

Dans ce dernier cas, vérifiez que l’axe des ordonnées est tangent à ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\alpha }}$ à l'origine du repère.

b)  Étudiez les variations de ${\displaystyle f_{\alpha }}$.

3°  a)  On suppose ${\displaystyle \alpha >0}$. Précisez les positions relatives des courbes ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}}$ et ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\alpha }}$ restreintes à ${\displaystyle ]0;\,+\infty [}$.

b)  ${\displaystyle \alpha }$ et ${\displaystyle \beta }$ sont deux réels tels que ${\displaystyle 0<\alpha <\beta }$.

Précisez les positions relatives des courbes ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\alpha }}$ et ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\beta }}$ restreintes à ${\displaystyle ]0;\,+\infty [}$.

Prouvez que toutes les courbes ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\alpha }}$ passent par un même point et donnez une équation de la tangente à ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\alpha }}$ en ce point.

4°  Représentez les courbes ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\frac {1}{2}}}$ et ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{e}}$.

Dans cette partie, on suppose que ${\displaystyle \alpha }$ est un entier naturel, on pose alors ${\displaystyle \alpha =n}$.

On note ${\displaystyle F_{n}}$ la fonction définie sur ${\displaystyle [0;\,+\infty [}$ par :

${\displaystyle F_{n}=\int _{0}^{x}f_{n}(t)\,\mathrm {d} t}$

1°  Quelle est la fonction dérivée de ${\displaystyle F_{n}}$ ?

2°  Calculez ${\displaystyle F_{0}(x)}$ et ${\displaystyle F_{1}(x)}$, puis étudiez la limite en ${\displaystyle +\infty }$ des fonctions ${\displaystyle F_{0}}$ et ${\displaystyle F_{1}}$.

3°  Montrez que :

${\displaystyle F_{n}(x)=-x^{n}e^{-x}+nF_{n-1}(x)}$ pour tout ${\displaystyle n\geqslant 1}$, tout ${\displaystyle x\geqslant 0}$.

4°  a)  Montrez par récurrence que chaque fonction ${\displaystyle F_{n}}$ a une limite réelle en ${\displaystyle +\infty }$. On notera ${\displaystyle u_{n}}$ cette limite.

b)  Quelle relation existe-t-il entre ${\displaystyle u_{n}}$ et ${\displaystyle u_{n-1}}$ ? Déduisez-en la valeur de ${\displaystyle u_{n}}$ pour tout n.

5°  a)  Étudiez les variations de ${\displaystyle F_{n}}$ lorsque ${\displaystyle n\neq 0}$.

b)  Donnez l'allure de la courbe représentative ${\displaystyle F_{3}}$.

6°  a)  Montrez que pour tout ${\displaystyle n\geqslant 1,\,{\frac {F_{n}(1)}{n!}}=-{\frac {e^{-1}}{n!}}+{\frac {F_{n-1}(1)}{(n-1)!}}}$.

b)  Déduisez-en que pour tout n :

${\displaystyle {\frac {F_{n}(1)}{n!}}=1-e^{-1}\left(\sum _{p=0}^{n}{\frac {1}{p!}}\right)}$.

c)  En utilisant une majoration de ${\displaystyle f_{n}(t)}$ sur l'intervalle ${\displaystyle [0;\,1]}$, montrez que pour tout ${\displaystyle n\geqslant 1,\,0\leqslant F_{n}(1)\leqslant e^{-1}}$.

d)  Déduisez de b) et c) la limite de la suite ${\displaystyle (s_{n})}$ définie par ${\displaystyle s_{n}=\sum _{p=0}^{n}{\frac {1}{p!}}}$.