1°  On considère la fonction ${\displaystyle f}$ définie sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ par :

${\displaystyle f(x)=x+{\sqrt {1+x^{2}}}}$

a)  Montrez que pour tout réel ${\displaystyle x}$,

${\displaystyle {\sqrt {1+x^{2}}}>|x|}$

et déduisez-en le signe de ${\displaystyle f(x)}$.

b)  Étudiez cette fonction et tracez sa courbe représentative dans un repère orthonormal ${\displaystyle (0;\,{\vec {i}},\,{\vec {j}})}$.

2°  On considère la fonction ${\displaystyle g}$ définie sur ${\displaystyle ]0;\,+\infty [}$ par :

${\displaystyle g(x)={\frac {x^{2}-1}{2x}}}$.

Vérifiez que pour tout réel ${\displaystyle x,\,g\left(f(x)\right)=x}$, et que pour tout réel ${\displaystyle x>0,\,f\left(g(x)\right)=x}$.

3°  On considère la fonction ${\displaystyle h}$ définie par :

${\displaystyle h(u)={\frac {1}{2}}\left(u+{\frac {1}{u}}\right)}$

Dressez le tableau de variation de ${\displaystyle h}$, précisez les limites aux bornes de son ensemble de définition.

4°  ${\displaystyle n}$ est un naturel.

On considère la fonction ${\displaystyle P_{n}}$ definie sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ par :

${\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{2}}\left(\left(x+{\sqrt {1+x^{2}}}\right)^{n}+\left(x-{\sqrt {1+x^{2}}}\right)^{n}\right)}$

a)  Montrez que ${\displaystyle P_{n}}$ est un polynôme.

Précisez son degré.

b)  Comparez, pour tout réel ${\displaystyle x,\,P_{n}(x)}$ et ${\displaystyle P_{n}(-x)}$.

5°  On note ${\displaystyle \varphi }$ le polynôme ${\displaystyle x\mapsto x^{n}}$.

Montrez que suivant la parité de ${\displaystyle n}$,

${\displaystyle P_{n}=h\circ \varphi \circ f\qquad }$ ou ${\displaystyle \qquad P_{n}=g\circ \varphi \circ f}$

Déduisez-en le tableau de variation de ${\displaystyle P_{n}}$.

6°  On suppose dans cette question que ${\displaystyle n}$ est un naturel pair non nul.

a)  ${\displaystyle m}$ est un réel donné.

Discutez, suivant le choix de ${\displaystyle m}$, le nombre de racines réelles de l'équation ${\displaystyle P_{n}(x)=m}$.

b)  ${\displaystyle \lambda }$ est un réel donné strictement compris entre ${\displaystyle 0}$ et ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$.

Résolvez dans ${\displaystyle \mathbb {C} }$ l'équation :

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(z+{\frac {1}{z}}\right)=\cos \lambda }$.

Déduisez-en les solutions complexes de l'équation :

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(z^{n}+{\frac {1}{z^{n}}}\right)=\cos \lambda \qquad }$(E).

Pour chacune des racines ${\displaystyle z}$ de l'équation (E), calculez ${\displaystyle x={\frac {1}{2}}\left(z-{\frac {1}{z}}\right)}$, puis calculez ${\displaystyle P_{n}(x)}$

(On note encore ${\displaystyle P_{n}}$ le prolongement à ${\displaystyle \mathbb {C} }$ du polynôme défini à la question 4°).