On note ${\displaystyle f_{0}}$ la fonction définie sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ par ${\displaystyle f_{0}(x)=e^{-x^{2}}}$, et ${\displaystyle f_{n}}$ la fonction définie sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ par :

${\displaystyle f_{n}(x)=x^{n}e^{-x^{2}},\,n\in \mathbb {N} ^{*}}$.

1°  Pour tout naturel ${\displaystyle n}$, on pose :

${\displaystyle I_{n}=\int _{0}^{1}f_{n}(x)\,\mathrm {d} x}$.

Montrez que la suite ${\displaystyle (I_{n})}$ est décroissante et positive.

On admettra que toute suite décroissante et positive est convergente.

On notera ${\displaystyle l}$ la limite de la suite ${\displaystyle (u_{n})}$.

2°  Trouvez une relation de récurrence entre ${\displaystyle I_{n}}$ et ${\displaystyle I_{n+2}}$.

Déduisez-en la valeur de ${\displaystyle l}$.

1°  Étudiez les variations de ${\displaystyle f_{n}}$ selon les valeurs de ${\displaystyle n}$.

Précisez, en particulier, les cas ${\displaystyle n=0,\,n=1,\,n=2,\,n=3}$.

2°  Le plan est muni d'un repère orthonormal ${\displaystyle (O;\;{\vec {i}},\,{\vec {j}})}$. On note ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}}$ la courbe représentant ${\displaystyle f_{n}}$ dans ce repère.

a)  En quels points la courbe ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}}$ a-t-elle une tangente parallèle à l'axe des abscisses ?

b)  Déterminez, pour les valeurs ${\displaystyle 0,\,1,\,2,\,3,}$ de ${\displaystyle n}$, les abscisses des points en lesquels la dérivée seconde ${\displaystyle f_{n}^{''}}$ s'annule et change de signe.

c)  Montrez que toutes les courbes ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}(n\geqslant 0)}$ ont un point commun et un seul, que l’on notera A,

que toutes les courbes ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{2p}(p\geqslant 0)}$, ont exactement deux points communs, A et un autre que l’on notera B,

et montrez que toutes les courbes ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{2p+1}(p\geqslant 0)}$, on exactement trois points communs A, O, et un autre que l'on notera C.

d)  Précisez la position relative de deux courbes ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}}$ et ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{m}}$ restreintes à ${\displaystyle [0;\,+\infty [}$.

e)  Tracez sur un même dessin les courbes ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}}$, ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}}$, ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{2}}$.