${\displaystyle h}$ est une fonction dérivable sur ${\displaystyle I=[0;\,+\infty [}$ et positive.

${\displaystyle H}$ est la primitive de ${\displaystyle h}$ sur ${\displaystyle I}$ telle que ${\displaystyle H(0)=0}$.

1°  Montrez que ${\displaystyle H}$ est positive sur ${\displaystyle I}$.

2°  En utilisant plusieurs fois la question précédente, et sachant que pour tout réel ${\displaystyle x\geqslant 0,\,e^{x}-1\geqslant 0}$, montrez -que :

pour tout réel ${\displaystyle x\geqslant 0,\,e^{x}\geqslant {\frac {x^{4}}{24}}}$

${\displaystyle f}$ est la fonction définie sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ par :

${\displaystyle f(x)=1-x^{2}e^{-x}}$.

1°  Étudiez la fonction ${\displaystyle f}$.

2°  Déduisez de cette étude que l'équation ${\displaystyle f(x)=0}$ a une solution et une seule, noté ${\displaystyle \alpha }$. Donnez une valeur approchée de ${\displaystyle \alpha }$ à 10^-2 près.

3°  L'unité de longueur choisie est 2 cm; tracez la courbe ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ représentative de ${\displaystyle f}$ dans un repère orthonormal.

Précisez, s'il y a lieu, les tangentes horizontales.

4°  ${\displaystyle \lambda }$ est un réel strictement positif.

On note D le domaine limité par la droite d'équation ${\displaystyle y=1}$, la courbe ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, les droites d'équations ${\displaystyle x=\lambda }$, et ${\displaystyle x=0}$.

On note ${\displaystyle A(\lambda )}$ l'aire, en cm², du domaine D.

a)  Montrez que :

${\displaystyle {\frac {A(\lambda )}{4}}=\int _{0}^{\lambda }x^{2}e^{-x}\,\mathrm {d} x}$.

b)  On veut savoir s'il est possible de choisir ${\displaystyle \lambda }$ de façon à obtenir ${\displaystyle A(\lambda )=125}$.

• Sans calculer l'intégrale, montrez que :

${\displaystyle \int _{0}^{\lambda }x^{2}e^{-x}\,\mathrm {d} x\leqslant 1,\qquad \qquad \qquad \quad \,}$ lorsque ${\displaystyle \lambda \leqslant 1}$

${\displaystyle \int _{1}^{\lambda }x^{2}e^{-x}\,\mathrm {d} x\leqslant 24\left(1-{\frac {1}{\lambda }}\right)\leqslant 24,}$ lorsque ${\displaystyle \lambda \geqslant 1}$.

• De ces inégalités, déduisez que ${\displaystyle A(\lambda )=125}$ cm² est impossible.

1°  ${\displaystyle f'}$ et ${\displaystyle f''}$ désignent respectivement les dérivées première et seconde de ${\displaystyle f}$.

Vérifiez que pour tout réel ${\displaystyle x}$ :

${\displaystyle f''(x)+2f'(x)+f(x)=-2e^{-x}+1}$.

2°  On note ${\displaystyle F}$ la primitive sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ de ${\displaystyle f}$ qui s'annule pour ${\displaystyle x=0}$.

Donnez la valeur explicite de ${\displaystyle F(x)}$ pour tout réel ${\displaystyle x}$.

3°  Écrivez ${\displaystyle F(x)}$ sous forme d'intégrale.

Retrouvez le résultat de la question précédente en calculant cette intégrale.