On choisit pour unité de longueur 4 cm, et on munit le plan d'un repère orthonormal direct ${\displaystyle (O;\,{\vec {u}},\,{\vec {v}})}$. Vous représenterez dans ce repère les courbes demandées.

1°  On note E l'ensemble des complexes ${\displaystyle z}$ tels que ${\displaystyle z-i{\bar {z}}\neq 0}$ et on considère la fonction ${\displaystyle f}$ qui, à chaque élément de E, associe le complexe :

${\displaystyle f(z)={\frac {z+{\bar {z}}-i}{z-i{\bar {z}}}}}$

Déterminez l'ensemble E et représentez-le graphiquement.

Par la suite, si un complexe ${\displaystyle z}$ de E est représenté par un point M, on notera M' le point représentant ${\displaystyle f(z)}$.

2°  Résolvez dans ${\displaystyle \mathbb {C} }$ l'équation ${\displaystyle f(z)=i}$.

3°  ${\displaystyle z}$ est un complexe appartenant à E; Le point M qui le représente a pour coordonnées ${\displaystyle (x;\,y)}$. Exprimez en fonction de ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle y}$ les coordonnées du point M'.

4°  Déterminez et représentez graphiquement l'ensemble des complexes ${\displaystyle z}$ tels que ${\displaystyle f(z)}$ soit un imaginaire pur.

5°  ${\displaystyle z=x+iy}$ est un complexe de E.

Montrez que le module de ${\displaystyle f(z)}$ est égal à ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ si et seulement si ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle y}$ sont liés par la relation ${\displaystyle 4y^{2}-8xy-1=0}$.

Le but de cette partie est de représenter l'ensemble E' des complexes ${\displaystyle z=x+iy}$ tels que ${\displaystyle f(z)}$ ait pour module ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$. C'est-à-dire aussi, d'après la fin de la première partie, l'ensemble des couples ${\displaystyle (x;\,y)}$ tels que ${\displaystyle 4y^{2}-8xy-1=0\qquad }$ [1].

1°  Montrez que pour tout réel ${\displaystyle x}$, il existe deux réels ${\displaystyle y_{1}}$ et ${\displaystyle y_{2}}$ à déterminer tels que ${\displaystyle (x;\,y_{1})}$ et ${\displaystyle (x;\,y_{2})}$ vérifie la relation [1].

2°  ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$ sont les fonctions définies sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ par :

${\displaystyle {\begin{cases}a(x)=x+{\frac {1}{2}}{\sqrt {4x^{2}+1}}\\b(x)=x-{\frac {1}{2}}{\sqrt {4x^{2}+1}}\end{cases}}}$

On notera ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ la courbe représentative de ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle {\mathcal {C}}'}$ la courbe représentative de ${\displaystyle b}$.

a)  Montrez que l'ensemble E' cherché est représenté par la réunion de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ et ${\displaystyle {\mathcal {C}}'}$.

b)  Montrez que l'origine O est centre de symétrie de E'.

3°  Étudiez la fonction ${\displaystyle a}$ et tracez sa courbe représentative.

Montrez que la droite d d'équation ${\displaystyle y=2x}$ est asymptote à ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ au voisinage de ${\displaystyle +\infty }$ et précisez la position de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ par rapport à cette asymptote.

4°  Tracez la tangente à ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ au point d'interception de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ avec l'axe des ordonnées.

5°  Représentez l'ensemble E'.

On se propose de calculer en cm², l'aire ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ du domaine compris entre la courbe ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, les droites d'équation ${\displaystyle x=0}$, ${\displaystyle x=1}$, et l'axe des abscisses.

1°  Exprimez cette aire sous forme d'une intégrale.

2°  On note ${\displaystyle a_{1}}$ la restriction de ${\displaystyle a}$ à l'intervalle ${\displaystyle I=[0;\,1]}$.

a)  Pourquoi ${\displaystyle a_{1}}$ est-elle une bijection de ${\displaystyle I}$ sur l'intervalle ${\displaystyle J=\left[{\frac {1}{2}};\,{\frac {2+{\sqrt {5}}}{2}}\right]}$ ?

b)  Soit ${\displaystyle h}$ la fonction définie sur ${\displaystyle J}$ par ${\displaystyle h(x)={\frac {4x^{2}-1}{8x}}}$

Vérifiez que pour tout ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle J,\,a_{1}\left(h(x)\right)=x}$, et que pour tout ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle I,\,h\left(a_{1}(x)\right)=x}$.

Comment qualifie-t-on ${\displaystyle h}$ par rapport à ${\displaystyle a_{1}}$, et ${\displaystyle a_{1}}$ par rapport à ${\displaystyle h}$ ?

Qu'en résulte-t-il pour les courbes ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ et ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{h}}$ ?

3°  Tracez la courbe représentative de ${\displaystyle h}$.

4°  Calculez l'intégrale ${\displaystyle \int _{\frac {1}{2}}^{\frac {2+{\sqrt {5}}}{2}}{\frac {4x^{2}-1}{8x}}\,\mathrm {d} x}$ et interprétez-la graphiquement.

5°  Déduisez alors de ce qui précède l'aire ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ cherchée.