Terminale spécialité Mathématiques (France)/Devoir/Équations fonctionnelles, dérivation et suites

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— Ⅰ —

Le but de cette partie est de trouver toutes les fonctions $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ satisfaisant aux conditions $(C_{1})$ suivantes :

$\lim _{x\to 0}f(x)=f(0)$ ;
pour tout réel $x,\,f(2x)=f(x)$ .

1° Vérifiez que les fonctions constantes satisfont bien aux conditions $(C_{1})$ .

2° Nous allons montrer que seules les fonctions constantes vérifient les conditions $(C_{1})$ .

On suppose que

f

satisfait aux conditions

(C_{1})

.

a) Montrez que pour tout réel

x

, tout naturel

n,\,f(x)=f\left({\frac {x}{2^{n}}}\right)

.

b) En supposant

x

fixé, justifiez que la suite

(u_{n})

définie par :

u_{n}=f\left({\frac {x}{2^{n}}}\right)

a pour limite

f(0)

.

c) Déduisez-en que

f

est constante.

— Ⅱ —

Le but de cette partie est de trouver toutes les fonctions $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ satisfaisant aux conditions $(C_{2})$ suivantes :

$g$ est dérivable en zéro ;
pour tout réel $x,\,g(2x)=2g(x)$ .

1° Trouvez des fonctions simples qui satisfont aux conditions $(C_{2})$ .

2° On suppose que $g$ satisfait aux conditions $(C_{2})$ .

a) Montrez que

g(0)=0

.

b) Nous allons ramener le problème à celui posé lors de la première partie.

On note

f

la fonction définie par

f(x)={\frac {g(x)}{x}}

lorsque

x\neq 0

, et

f(0)=g'(0)

.

Montrez que

\lim _{x\to 0}f(x)=f(0)

.

c) Montrez que pour tout réel

x,\,f(2x)=f(x)

.

d) Déduisez-en, en utilisant la première partie, que pour tout réel

x,\,g(x)=g'(0)x

(donc

g

est une fonction linéaire).

e) Déterminez l'ensemble de toutes les fonctions qui satisfont aux conditions

(C_{2})

.

Corrigé

— Ⅰ —

1° Immédiat.

2° a) Récurrence simple.

b) Quand

n\to +\infty

,

{\frac {x}{2^{n}}}\to 0

donc (puisque

\lim _{t\to 0}f(t)=f(0)

)

f\left({\frac {x}{2^{n}}}\right)\to f(0)

.

c) Pour

x

fixé, d'après b),

f\left({\frac {x}{2^{n}}}\right)\to f(0)

or d'après a), la suite

\left(f\left({\frac {x}{2^{n}}}\right)\right)

est constante, égale à

f(x)

. Donc

\forall x\in \mathbb {R} \quad f(x)=f(0)

.

— Ⅱ —

1° $g:x\mapsto kx$ convient (pour tout $k\in \mathbb {R}$ ) car $g'(0)=k$ et $k(2x)=2(kx)$ .

2° a) $g(0)=g(2\times 0)=2g(0)$ donc $g(0)=0$ .

b) Pour tout

x\neq 0

,

f(x)={\frac {g(x)}{x}}={\frac {g(x)-g(0)}{x}}

— d'après a) — donc

\lim _{x\to 0,\;x\neq 0}f(x)=g'(0)=f(0)

.

c)

f(2\times 0)=f(0)

et si

x\neq 0

,

f(2x)={\frac {g(2x)}{2x}}={\frac {2g(x)}{2x}}={\frac {g(x)}{x}}=f(x)

.

d) D'après b) et c) et la première partie,

\forall x\in \mathbb {R} ^{*}\quad {\frac {g(x)}{x}}=f(x)=f(0)=g'(0)

. D'après a),

g(0)=0=g'(0)\times 0

.

e) D'après d) et 1°, les fonctions qui satisfont aux conditions

(C_{2})

sont les fonctions linéaires.

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