L'addition est associative ( a + (b + c) = (a + b) + c ) et commutative ( a + b = b + a) : on peut donc associer et commuter les termes entre eux:
- 1 984 + 876 + 328 + 9 139 = (1000 + 900 + 80 + 4) + (700 + 100 + 70 + 6) + (300 + 20 + 8) + (9000 + 100 + 30 + 2 + 7)
- 1 984 + 876 + 328 + 9 139 = (1000 + 9000) + (900 + 100) + (700 + 300) + (80 + 20) + (70 + 30) + (4 + 6) + (2 + 8) + 100 + 7
- 1 984 + 876 + 328 + 9 139 = 10 000 + 1 000 + 1 000 + 100 + 100 + 100 + 10 + 10 + 7
- 1 984 + 876 + 328 + 9 139 = 12 327
Remodeler les entiers pour la soustraction
On transforme progressivement les nombres pour "arrondir" le nombre à soustraire et ainsi n'avoir plus que zéro à soustraire, en profitant du fait que
- a – b = (a + c) – (b + c) = (a - d) – (b - d) .
Contrairement à l'algorithme usuel, on calcule de préférence des puissances élevées vers les unités (ce n’est pas obligatoire mais c’est plus commode pour la mémoire). Exemple :
- 1462 - 295
Lorsque le chiffre à soustraire, au cours d'une opération, est plus petit que le chiffre dont on doit le soustraire, on fait la soustraction directement :
- 1462 - 295 = (1462 - 200) - (295 - 200) = 1262 - 95
Lorsque le chiffre à soustraire est trop grand, on fait une addition, ce qui permet de matérialiser immédiatement la retenue sans avoir à la mémoriser en plus :
- 1262 - 95 = (1262 + 10) - (95 + 10) = 1272 - 105
Mais parfois il y a encore plus simple, car le but est d'arrondir progressivement le nombre à soustraire
- 1262 - 95 = (1262 + 5) - (95 + 5) = 1267 - 100
- 1267 - 100 = 1167
On peut ainsi, de manière générale, utiliser un complément à 10, 100, 1000 du soustracteur (car il est aisé de soustraire 10, 40, 100, 1000, par exemple) en ajoutant le même nombre à chacun des termes de la soustraction :
- (on ajoute ici 9 pour passer de 91 à 100).
Remodeler les entiers pour l'addition
Le principe reste le même, il s'agit d'arrondir et d'annuler progressivement la quantité à ajouter, mais cette fois il faut concevoir cela comme un déplacement de petits morceaux de la quantité à ajouter vers le nombre auquel on l'ajoute, ou parfois, pour éviter les retenues, dans l'autre sens.
- a + (b + c) = (a + c) + b
ou
- (a + c) + b = a + (b + c)
Là encore on calcule de préférence des puissances élevées vers les unités. Exemple :
- 1462 + 295 = 1462 + 200 + 95 = 1662 + 95
- 1662 + 95 = 1667 + 90 = 1757
ou encore : 1662 - 5 + 100 = 1757