Exemple 1

Une boulangerie vend des baguettes. Pierre achète trois baguettes et cinq croissants, il paye 7 €. Paul achète deux baguettes et dix croissants, il paye 10 €. Quel est le prix d'une baguette et celui d'un croissant ?

Pour résoudre ce problème, on peut procéder par tâtonnements, mais la méthode risque d’être longue et incertaine. L'algébrisation du problème permet d'obtenir la solution à coup sûr, et en un temps raisonnable.

Il faut commencer par choisir des inconnues. On note ${\displaystyle x}$ l'inconnue représentant le prix d'une baguette, et ${\displaystyle y}$ l'inconnue représentant le prix d'un croissant.

La facture de Pierre se calcule alors de la manière suivante : ${\displaystyle 3x+5y}$ Celle de Paul : ${\displaystyle 2x+10y}$

Connaissant le prix payé par Pierre et Paul, on peut affirmer que les inconnues ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle y}$ doivent vérifier simultanément les deux équations : ${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}3x+5y=7\\2x+10y=10\end{array}}\right.}$

Le caractère simultané des deux équations est représenté par l'accolade ({) devant celles-ci.

On dit que les deux équations forment un système de deux équations à deux inconnues.

Exemple 2

Un champ rectangulaire a une aire de 24 m² et un périmètre de 20 m. Quelles sont les dimensions du champ ?

Tentons de mettre ce problème en équations.

On commence par choisir des inconnues : On note ${\displaystyle x}$ l'inconnue désignant la largeur (en mètres) du champ, et ${\displaystyle y}$ l'inconnue désignant la longueur (en mètres) du champ.

L'aire est alors donnée par la formule ${\displaystyle x\times y}$, le périmètre par ${\displaystyle 2x+2y}$.

Connaissant l'aire et le périmètre du champ, on peut affirmer que les inconnues ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle y}$ doivent vérifier simultanément les deux équations : ${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}x\times y=24\\2x+2y=20\end{array}}\right.}$

On obtient à nouveau un système de deux équations à deux inconnues.

Quelles est la différence entre ces deux systèmes ?

Rappelons les deux systèmes obtenus : ${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}3x+5y=7\\2x+10y=10\end{array}}\right.}$ et ${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}x\times y=24\\2x+2y=20\end{array}}\right.}$

Dans le premier système, les inconnues ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle y}$ apparaissent seulement multipliées par des nombres, alors que dans le deuxième, on voit le produit ${\displaystyle x\times y}$.

Seul le premier système est dit linéaire, ce sont des systèmes comme celui-ci qui vont être étudiés dans ce cours.

Je vous vois impatient de connaitre le prix d'une baguette et d'un croissant. Pour cela il faudra regarder le chapitre suivant.