Choisissons une énumération de ${\displaystyle D}$ : ${\displaystyle d_{0},d_{1},\dots }$ (distincts) et posons ${\displaystyle f(x)=\sum _{d_{n}<x}{\frac {1}{2^{n}}}}$ (série normalement convergente). La fonction ${\displaystyle f}$ est croissante, comme somme d'une série de fonctions croissantes. Elle est discontinue en tout point de ${\displaystyle D}$ (en ${\displaystyle d_{n}}$, elle fait un saut de ${\displaystyle {\frac {1}{2^{n}}}}$). Elle est continue en tout point ${\displaystyle x\notin D}$, comme somme d'une série uniformément convergente de fonctions continues en ${\displaystyle x}$.

Par imparité, on peut se restreindre à ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$, où ${\displaystyle f_{n}\geq 0}$.

Sur ${\displaystyle \left[0,M\right]}$, on a convergence normale car ${\displaystyle f_{n}(x)\leq {\frac {M}{n^{2}}}}$. Mais sur ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$, la convergence n'est pas uniforme.

En effet, la suite de fonctions ${\displaystyle (f_{n})}$ est décroissante et ${\displaystyle f_{n}(n)=\arctan {\frac {1}{2n}}}$ donc

${\displaystyle \forall n\leq 2N\quad f_{n}(2N)\geq f_{2N}(2N)=\arctan {1 \over 4N}}$,

si bien que

${\displaystyle R_{N}:=\sup _{x\geq 0}\sum _{n>N}f_{n}(x)\geq \sum _{N<n\leq 2N}f_{n}(2N)\geq N\arctan {\frac {1}{4N}}\to {\frac {1}{4}}}$,

donc

${\displaystyle \lim R_{N}\geq {\frac {1}{4}}>0}$.

1. ${\displaystyle \forall x\in \left]0,1\right]\quad x^{-x}=\exp(-x\ln x)=\exp(x|\ln x|)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(x|\ln x|)^{k}}{k!}}}$ et sur ${\displaystyle \left]0,1\right]}$, la convergence de cette série est uniforme, car la fonction ${\displaystyle x\mapsto x|\ln x|}$ est bornée (on peut la majorer explicitement en étudiant ses variations, ou invoquer simplement sa continuité et sa limite finie en 0). Par conséquent (et d'après le rappel)

   ${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{-x}\,\mathrm {d} x=\sum _{k=0}^{\infty }\int _{0}^{1}{\frac {(x|\ln x|)^{k}}{k!}}\,\mathrm {d} x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(k+1)^{k+1}}}=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-n}}$.

2. De même, sur ${\displaystyle \left]0,1\right]}$, ${\displaystyle x^{x}=\exp(x\ln x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(x\ln x)^{k}}{k!}}}$ avec convergence uniforme, donc

   ${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{x}\,\mathrm {d} x=\sum _{k=0}^{\infty }\int _{0}^{1}{\frac {(x\ln x)^{k}}{k!}}\,\mathrm {d} x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(k+1)^{k+1}}}=-\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{-n}}$.

Ces deux égalités ont été découvertes en 1697 par Jean Bernoulli. Voir les références de l'article de Wikipédia, dont :

• E. Weisstein, « Sophomore's Dream », sur MathWorld ;
• (par exemple) : William Dunham, The Calculus Gallery: Masterpieces from Newton to Lebesgue, Princeton University Press, 2005 [lire en ligne], chap.3 (« The Bernoullis »)  ;
• et (pour aller plus loin) : Jean Jacquelin, « Sophomore's Dream Function », 2010.