Suites et récurrence/Opérations sur les limites

Dans ce chapitre, $L$ et $L'$ désignent des limites finies (donc des réels).

Une forme indéterminée est un cas où l'on ne peut pas conclure par une règle générale : il faut alors « lever l'indétermination » au cas par cas, selon les suites considérées.

Les propriétés suivantes sont admises. Elles seront démontrées dans la leçon « Fonctions d'une variable réelle », de niveau 14.

Somme

Si $\lim u_{n}=$	$L$	$L$	$L$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$
et si $\lim v_{n}=$	$L'$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$
alors $\lim \left(u_{n}+v_{n}\right)=$	$L+L'$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	Indéterminé

Exemple

Étudier la convergence de la suite $(u_{n})$ définie par $u_{n}=n^{2}+3n$ .

On a $\lim n^{2}=+\infty$ et $\lim 3n=+\infty$ donc $\lim \left(n^{2}+3n\right)=+\infty$ .

Complément: Si $\lim u_{n}=+\infty$ et $(v_{n})$ bornée, alors $\lim \left(u_{n}+v_{n}\right)=+\infty$ .

Produit

Si $\lim u_{n}=$	$L$	$L>0$ ou $+\infty$	$L<0$ ou $-\infty$	$L>0$ ou $+\infty$	$L<0$ ou $-\infty$	$0$
et si $\lim v_{n}=$	$L'$	$+\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$\pm \infty$
alors $\lim \left(u_{n}\times v_{n}\right)=$	$L\times L'$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$+\infty$	Indéterminé

Exemple

Étudier la convergence de la suite $(u_{n})$ définie par $u_{n}=n^{2}\operatorname {e} ^{n}$ .

On a $\lim n^{2}=+\infty$ et $\lim \operatorname {e} ^{n}=+\infty$ donc $\lim n^{2}\operatorname {e} ^{n}=+\infty$ .

Complément: Si $\lim u_{n}=0$ et $(v_{n})$ bornée, alors $\lim \left(u_{n}\,v_{n}\right)=0$ .

Inverse

Si $\lim u_{n}=$	$L\neq 0$	$\pm \infty$	$0$
alors $\lim {\frac {1}{u_{n}}}=$	${\frac {1}{L}}$	$0$	Indéterminé

Quotient

Si $\lim u_{n}=$	$L$	$L$	$L>0$	$L>0$	$L<0$	$L<0$	$\pm \infty$	$0$
et si $\lim v_{n}=$	$L'\neq 0$	$\pm \infty$	$0$ et $v_{n}>0$	$0$ et $v_{n}<0$	$0$ et $v_{n}>0$	$0$ et $v_{n}<0$	$\pm \infty$	$0$
alors $\lim {\dfrac {u_{n}}{v_{n}}}=$	${\dfrac {L}{L'}}$	$0$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$+\infty$	Indéterminé	Indéterminé

Exemple

Étudier la convergence de la suite $u$ définie par $u_{n}={\frac {3+2/n}{-1/n}}$ .

On a $\lim _{n\to +\infty }3+2/n=3$ et $\lim _{n\to +\infty }-1/n=0^{-}$ donc $\lim _{n\to +\infty }{\frac {3+2/n}{-1/n}}=-\infty$ .

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